Test del simulatore d'orizzonte

Eccoci alla seconda parte, che completa la precedente in cui abbiamo trovato l'equazione che descrive matematicamente la curva dell'orizzonte.

Ci eravamo lasciati con questa formula matematica:
$$\bbox[5px,border:2px solid red]{m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)+2y'h\cos\beta(1+m^2)=0}$$ dove, noti \(d\) (diametro medio terrestre) e \(q\) (quota del punto di vista), abbiamo:

\(m=\frac{2}{d}\sqrt{q^2+dq}\)

\(h=2q\frac{d+q}{d+2q}\)

\(\beta=\arctan(m)\)

Manca ancora una cosa affinché la curva possa avere un impiego pratico: fino a questo punto non abbiamo ancora introdotto il CAMPO VISIVO, che è quello che definisce quanta parte di questa curva riusciamo a vedere.

Quindi, introduciamo il campo visivo, del quale parlerò in termini fotografici, in maniera da poter poi utilizzare dei parametri ottici di fotocamere note nel simulatore d'orizzonte.

I due elementi essenziali di una fotocamera sono il sensore (il riquadro sensibile alla luce sul quale si forma l'immagine prospettica) e la lente, il cui centro è posto ad una distanza prestabilita dal sensore,chiamata focale. Bene, in base alle dimensioni del sensore ed alla distanza focale della lente è possibile definire il campo visivo attraverso l'angolo di campo, anche chiamato FOV (Field Of View, che significa letteralmente, campo visivo).

Generalmente, si definisce come angolo di campo (FOV), l'angolo delvertice del triangolo isoscele costruito sulla diagonale del sensore ed avente come altezza la focale.

La lunghezza della Diagonale del sensore si trova facilmente applicando il teorema di Pitagora: $$ D_s=\sqrt{L_s^2+H_s^2}$$

Trovata la diagonale, il triangolo che si forma su di essa avente come altezza la lunghezza focale, definisce l'angolo di campo (FOV).

$$FOV=\arctan\left( \frac{D_s}{2f}\right)$$

Oltre all'angolo costruito sulla diagonale, torna utile conoscere anche il \(FOV\) orizzontale e verticale, ottenuti sostituendo alla \(D_s\) nella formula rispettivamente i valori \(L_s\) (larghezza del sensore) ed \(H_s\) (altezza del sensore). $$FOV_o=\arctan\left( \frac{L_s}{2f}\right)$$ $$FOV_v=\arctan\left( \frac{H_s}{2f}\right)$$ Abbiamo capito come definire il campo visivo di una nostra ipotetica fotocamera.

Adesso, però, vogliamo sapere quanta parte di orizzonte riusciamo a vedere. Per fare questo, ci occorre sapere la distanza dell'osservatore dall'orizzonte. Ma questa l'abbiamo già calcolata nell'articolo precedente: $$dist=\frac{h}{\sin(\beta)}$$ Attraverso questa distanza possiamo costruire una piramide simile a quella che si forma all'interno della fotocamera, la cui base è la porzione di scena inquadrata. Possiamo sapere quanto è ampio questo riquadro attraverso delle semplici proporzioni:

$$ L=L_s\frac{dist}{focale}$$ $$ H=H_s\frac{dist}{focale}$$

Abbiamo definito il riquadro che contiene la porzione di curva che siamo in grado di vedere, in base al campo visivo. Ovviamente, essendo variabile la distanza del punto di vista dall'orizzonte, sarà variabile anche la nostra inquadratura.

Adesso, invece di variare le dimensioni del riquadro in base alla distanza dell'orizzonte rispetto al punto di vista, possiamo mantenere il quadro fisso è scalare il sistema di riferimento in modo coerente ai calcoli.

Questa cosa è abbastanza semplice da ottenere in Geogebra: Basta inserire le variabili della larghezza del riquadro come parametri per la dimensione della finestra.

Abbiamo tutto ciò che ci serve per impostare il simulatore d'orizzonte, nel quale sarà possibile scegliere i parametri del sensore della fotocamera e della focale della lente.

Bene, a questo punto il simulatore è, sostanzialmente completo.

Ma è necessario fare ancora due cose molto importanti prima di considerarlo uno strumento valido:

- bisogna fare una riprova della bontà della formula finale. Occorre verificare con un altro metodo se il risultato del simulatore è attendibile.

- bisogna mettere alla prova sul campo il simulatore. Occorre prendere dei video ad alta quota in cui si vede l'orizzonte che fa la curva e che sia stato realizzato con delle lenti non distorsive.

In questo articolo, vediamo di verificare il primo punto. L'utilizzo sul campo del siulatore con verifica della curva dell'orizzonte e, quindi, della curvatura terrestre, avrà un articolo e/o video dedicato.

Ma, come facciamo a verificare se il simulatore sta tirando fuori una curva che ha senso?

L'idea che, mi è venuta è quella di utilizzare un software di grafica 3D e di simulare tridimensionalmente quello che dovrebbe rappresentare il simulatore. (Se qualcuno ha altri sistemi di verifica, mi farebbe piacere utilizzarli per testare il simulatore)

Il software che utilizzerò è Blender, gratuito e realizzato in Python, con delle caratteristiche che sono precise per questa verifica.

L'idea per la verifica è molto semplice. Si realizza una sfera di raggio pari a 6371 (km) e con centro C di coordinate [0,0,-6371] (come eravamo partiti con la circonferenza dell'articolo precedente.

Poi si utilizza una telecamera con caratteristiche di sensore e focale prestabilite (e, in questo, Blender è formidabile perché permette di inserire esattamente i valori per sensore e focale) e lo si fa salire di quota facendolo puntare sempre verso l'orizzonte. Per il test ho utilizzato il sensore di una GoPro3 Black (6.17x 5.44 mm) e la focale (f=4.35mm) di una lente non distorsiva per GoPro.

E qui viene in gioco un altra caratteristica molto interessante di Blender, ovvero la possibilità di programmare in Python lo spostamento e la rotazione della telecamera: Possiamo, in pratica,inserire nelo script la formula per calcolare il coefficiente angolare m e quindi gestire matematicamente spostamento e rotazione della telecamera.

Lo script utilizzato è il seguente.
Questo script va a registrare lo spostamento verticale e rotazione della telecamera in 100 frame partendo da una quota di 20 km incrementata con uno step di 20 km per frame fino ad arrivare, quindi, a 2000 km. La scelta dello step e dei limiti è del tutto arbitrario.

La prossima sequenza mostra il funzionamento dello script su di una vista laterale,

mentre in questa sequenza si vede ciò che riprende la telecamera mentre sale e ruota per puntare l'orizzonte.

Non ci resta da fare altro che far "simulare al simulatore" la stessa situazione, ovvero partendo da una quota di 20 km, salendo con uno step di 20 km fino a 2000 km, utilizzando gli stessi parametri di sensore e focale.

Questo è il risultato:

Non ci resta che sovrapporre quanto registrato dalla telecamera di Blender ed il risultato del simulatore. La sovrapposizione è perfetta.

Direi che, per quanto riguarda il funzionamento matematico, il simulatore funzioni correttamente. Vedrò di metterlo a disposizione nei prossimi giorni in modo che chiunque possa testarlo/utilizzarlo e, eventualmente, riportare qualcosa che non funziona o proporre qualche miglioramento.

Anche per questa volta è tutto.

Ci vediamo a prestissimo.

Oltre che alla pubblicazione del simulatore, è quasi pronta una dimostrazione molto interessante sui razzi che, secondo i terrapiattisti, finirebbero in mare invece che in orbita. Stay tuned. R0D4N

L'equazione dell'orizzonte

Salve a tutti. Oggi voglio riprendere l'argomento affrontato nell'articolo precedente, ovvero la forma dell'orizzonte e la sua percezione, e lo approfondirò dandone una descrizione matematica. Sì, in questo articolo scriveremo una equazione che descrive l'andamento dell'orizzonte in base alla quota dell'osservatore.

Sono consapevole che questo non sarà un articolo che incontrerà l'interesse di tutti, ma penso che sia importante per due ragioni:

- La prima è che questa trattazione è una dimostrazione lampante della difficoltà che, spesso, si incontra nel descrivere matematicamente un fenomeno fisico. Capita molto di frequente di incontrare persone che pensano di risolvere le quesioni in quattro e quattr'otto con qualche formuletta di loro conoscenza non attinente e male applicata, perché non capiscono minimamente la portata del problema.

- La seconda è che sono in procinto di aggiornare la pagina del simulatore d'orizzonte con la possibilità di fare ulteriori operazioni (ad esempio introducendo le caratteristiche di una fotocamera). Questo articolo e quello che seguirà a breve rappresenteranno la documentazione tecnica del nuovo simulatore, che chiunque potrà consultare e verificare.

Quindi, questo articolo tratterà l'equazione che descrive la curva dell'orizzonte rispetto alla quota dell'osservatore, mentre nel successivo articolo vedremo quanta parte di questa curva siamo in grado di vedere in base al campo visivo disponibile (definendolo attraverso parametri fotografici) e verificheremo la bontà del calcolo mediante il confronto con una simulazione in un software 3D (Blender) e con casi reali di riprese dell'orizzonte ad alta quota senza l'utilizzo di lenti distorsive.

Sarà una intensa galoppata tra geometria analitica bi-tridimensionale e trigonometria applicata.

Un'ultima nota prima di partire: quanto riportato di seguito rappresenta una descrizione matematica approssimata della curva dell'orizzonte. Nel calcolo si considera la Terra come una sfera perfetta di raggio pari a \(r=6371\) km (raggio medio terrestre), non vengono considerati effetti atmosferici.

Bene, adesso che siete stati avvisati a cosa state per andare in contro, possiamo cominciare.

Nell'articolo precedente abbiamo visto come l'orizzonte sia sostanzialmente un arco della circonferenza determinata dal cono visivo tangente alla sfera, dove il vertice del cono è il punto di vista.

Questo cono varia in base alla quota dell'osservatore, quindi possiamo tentare di parametrizzarlo attraverso questa quota, ovvero di scrivere una equazione del cono che varia in base al parametro \(q\).

Partiamo con il definire il cono, in modo che si modifichi in base alla quota dell'osservatore. Dobbiamo cercare tutti i parametri che variano in base quota ed attraverso i quali è possibile scrivere l'equazione del cono.

Per fare questo, possiamo facilitarci la vita, trovando le proprietà del cono attraverso la sua proiezione 2D, considerando la circonferenza massima della sfera e le sue rette tangenti passanti per il punto in quota
Consideriamo, quindi la circonferenza così descritta : $$x^2+y^2+dy=0$$ dove $$d=2r$$ \(r\) è il raggio della circonferenza (raggio medio terrestre)

La caratteristica di questa circonferenza è che non avrà centro all'incrocio del sistema degli assi, ma centro \(C=(0,-r)\), di modo che l'origine del riferimento del sistema cartesiano possa rappresentare la quota 0 del nostro ragionamento.

Consideriamo, quindi, un punto \(P=(0,q)\) che rappresenta la quota alla quale si trova il punto di vista.

Il cono di tangenza verrà parametrizzato sulla base di questo punto.

Adesso, vogliamo trovare una retta, passante per il punto \(P\) e tangente alla circonferenza. L'equazione della retta sarà di questo tipo: $$y=mx+q$$

Dobbiamo, quindi, trovare per quale valore di \(m\), la retta diventa tangente alla circonferenza. Per fare questo, mettiamo a sistema le equazioni della circonferenza e della retta. $$ \begin{cases} x^2+y^2+dy=0 \\ y=mx+q \\ \end{cases} $$

Andiamo a sostituire la \(y\) della retta nell'equazione della circonferenza: $$x^2+(mx+q)^2+d(mx+q)=0$$ $$x^2+m^2x^2+q^2+2qmx+dmx+dq=0$$ Perveniamo ad una equazione di secondo grado in \(x\): $$\underbrace{(1+m^2)}_{\text{A}}x^2+\underbrace{(2q+d)m}_{\text{B}}x+\underbrace{q^2+dq}_{\text{C}}=0$$ Che si sviluppa con la classica formula risolutiva: $$ x = {-B \pm \sqrt{B^2-4AC} \over 2A}$$ Ma noi stiamo cercando il coefficiente angolare per il quale la retta è tangente, e questo si trova imponendo: \(B^2-4AC=0\) (Condizione di tangenza) $$ (2q+d)^2m^2-4(1+m^2)(q^2+dq)=0$$ $$ \require{cancel}\cancel{4q^2m^2}+d^2m^2+\cancel{4dqm^2}-4q^2-4dq-\cancel{4q^2m^2}-\cancel{4dqm^2}=0$$ $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{m=\pm\frac{2}{d}\sqrt{q^2+dq}}$$ Bene, abbiamo trovato il coefficiente angolare \(m\) della retta tangente. In realtà, abbiamo due coefficienti perché, da un punto esterno ad una circonferenza, passano due rette tangenti ad essa.

A questo punto, ci interessa di trovare le coordinate dei punti di tangenza. Questo possiamo farlo andando a sostituire la \(y\) della retta parametrizzata nell'equazione della circonferenza. Per fare questo, sceglieremo una sola delle due rette, quella con il coefficiente angolare positivo: $$y_t=\frac{2}{d}x\sqrt{q^2+dq}+q$$ $$x^2+(\frac{2}{d}x\sqrt{q^2+dq}+q)^2+d(\frac{2}{d}x\sqrt{q^2+dq}+q)=0 $$ Sostituiamo: $$x^2+\frac{4}{d^2}x^2(q^2+dq)+q^2+\frac{4q}{d}x\sqrt{q^2+dq}+2x\sqrt{q^2+dq}+dq=0 $$ $$x^2\underbrace{\cancelto{(d+2q)^2}{(d^2+4q^2+4dq)}}_{\text{A}}+x\underbrace{2d(2q+d)\sqrt{q^2+dq}}_{\text{B}}+\underbrace{d^2q^2+d^3q}_{\text{C}}=0 $$ Otteniamo una nuova equazione di secondo grado, che risolviamo con la formula risolutiva. (Poiché la retta è tangente, ci aspettiamo che \(B^2-4AC=0\) (lo useremo come verifica): $$ x_t = {-B \pm \sqrt{B^2-4AC} \over 2A}$$ $$ x_t = {-2d(2q+d)\sqrt{q^2+dq} \pm \sqrt{[2d(2q+d)\sqrt{q^2+dq}]^2-4(d+2q)^2(d^2q^2+d^3q)} \over 2(d+2q)^2}$$ $$ x_t = {-2d(2q+d)\sqrt{q^2+dq} \pm \sqrt{\cancel{4d^2q(2q+d)^2(q+d)}-\cancel{4d^2q(d+2q)^2(q+d)}} \over 2(d+2q)^2}$$ (\(B^2-4AC=0\) effettivamente si verifica, come previsto): $$ x_t = {-\cancel{2}d\cancel{(2q+d)}\sqrt{q^2+dq} \over \cancel{2}(d+2q)^\cancel{2}}$$ $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{x_t = -\frac{d}{d+2q}\sqrt{q^2+dq}}$$ Abbiamo trovato la coordinata \(x_t\) del punto tangente alla curva. Adesso calcoliamo la componente \(y_t\) inserendo \(x_t\) nell'equazione della retta tangente: $$y_t=-\frac{2}{\cancel{d}}\left(\frac{\cancel{d}}{d+2q}\sqrt{q^2+dq}\right)\sqrt{q^2+dq}+q$$ $$y_t=-\frac{2}{d+2q}(q^2+dq)+q$$ $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{y_t = -2q\frac{d+q}{d+2q}+q}$$ Abbiamo trovato entrambe le coordinate del punto \(T(x_t,y_t)\) parametrizzate in base alla quota \(q\)

Abbiamo trovato tutti gli elementi utili a caratterizzare il nostro cono di tangenza, e siamo riusciti a parametrizzarlo in base alla quota dell'osservatore \((q)\). La cosa funziona talmente bene che possiamo addirittura "staccare" il cono di tangenza dalla sfera. Possiamo, di fatti, calcolare l'altezza del cono dalla base variabile ed analizzare il nostro cono a parte, sapendo che, comunque, la circonferenza di base rappresenta sempre l'orizzonte rispetto al punto di vista. Per fare questo, quindi, calcoliamo la distanza \(h\): $$ h=q-y_t$$ $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{h = 2q\frac{d+q}{d+2q}}$$

Vediamo meglio la cosa spostandoci alla visione tridimensionale. Grazie ai parametri calcolati \((m, h)\) possiamo scrivere il cono tangente parametrico che ha la seguente equazione: $$x^2 + y^2-\frac{(z-h)^2}{m^2}=0$$ dove \(m\) ed \(h\) sono i parametri appena calcolati.

Come abbiamo già detto, poichè il cono varia esclusivamente in funzione della quota, possiamo analizzarlo a parte ricordando, comunque, che la sua base circolare è l'orizzonte terrestre di cui vogliamo trovare una equazione in base alla vista.

Abbiamo trovato l'equazione del cono tangente alla sfera, parametrizzato esclusivamente con la quota \(q\). Ora, dopo aver definito il cono di visione ela circonferenza di base alla quale appartiene l'arco d'orizzonte, vogliamo esprimere matematicamente quella che è la nostra percezione dell'orizzonte. La percezione prospettica che noi abbiamo dell'orizzonte è quella che si individua attraverso un piano secante il cono e perpendicolare alla direzione della vista.

L'orizzonte è esattamente la linea di intersezione tra cono e piano.

Occorre, però, risolvere un problema affinché noi possiamo pervenire all'equazione di questa curva: il piano sul quale giace la curva è definito nello spazio tridimensionale, mentre a noi interessa avere un sistema di riferimento cartesiano che ruoti assieme al piano per definire bidimensionalmente la curva dell'orizzonte su un riferimento bidimensionale. Questo può essere ottenuto cambiando sistema di riferimento (quindi passiamo da \(O(x,y,z)\) ad \(O'(x'y'z')\)) ruotandolo dello stesso angolo di pendenza del cono(angolo \(\beta=atan(m)\)). In questa maniera, la curva dell'orizzonte sarà definita sul piano \(x'y'\) del nuovo sistema di riferimento.

Quello che vogliamo ottenere è, sostanzialmente, questo:

Chi è stato attento e ha osservato bene cosa mostra questa animazione, avrà capito che, in realtà, non abbiamo solo una rotazione del cono, ma anche una sua traslazione, perché il vertice si sposta lungo l'asse \(z'\) della distanza tra l'osservatore e l'orizzonte.

La cosa positiva è che possiamo occuparci separatamente di queste due componenti (rotazione e traslazione).

Occupiamoci della prima.

Vogliamo ruotare il cono parametrico attorno all'asse \(x\), quindi consideriamo, come condizione di partenza,l'equazione del cono con asse di simmetria lungo l'asse \(y\) e vertice nell'origine \(O\) del sistema.

L'equazione di tale cono è la seguente: $$x^2-\frac{y^2}{m^2}+z^2=0$$ Vi faccio notare che l'equazione è ancora parametrizzata secondo il valore \(q\) che rappresenta la quota dell'osservatore, attraverso \(m\). Si tratta sempre dello stesso cono, ma lo abbiamo disposto diversamente nello spazio.

Vogliamo, quindi, fare in modo che il sistema di riferimento ruoti di un angolo pari alla pendenza del cono, in modo che il profilo di pendenza rimanga sempre ortogonale al piano \(xy\) (che, nel nuovo sistema di riferimento sarà il piano \(x'y'\)). Ovviamente,l'angolo di rotazione varia perchè la pendenza del cono varia al variare di \(q\).

Il risultato che cerchiamo è questo:

Matematicamente, la rotazione di un riferimento cartesiano si ottiene mediante un sistema di equazioni che esprimono il nuovo riferimento in funzione di quello di partenza. Per ottenere un riferimento \(O'(x',y',z')\) ruotato attorno all'asse \(x\) del riferimento \(O(x,y,z)\), si utilizza il seguente sistema di equazioni: $$ \begin{cases} x'=x \\ y’ = y\cos\beta - z\sin\beta\\ z'= y\sin\beta + z\cos\beta\\ \end{cases} $$ Per poter utilizzare questo sistema, occorre che otteniamo il sistema inverso, ovvero il riferimento in \(O(x,y,z)\), in funzione del nuovo riferimento, in modo da poter fare le sostituzioni nell'equazione del cono.

Quindi, quello che vogliamo fare è esprimere \(x, y\) e \(z\) in funzione di \(x', y'\) e \( z'\).

La prima equazione è facile:

Vogliamo che il nuovo sistema ruoti attorno ad \(x\). Quindi \(x'=x\) e viceversa. $$ x=x'$$ Per trovare \(y\) e \(z\) in funzione di \(y'\) e \(z'\), usiamo un pò di "trucchi", moltiplicando le equazioni per delle quantità opportune e sommando o sottraendo le equazioni tra di loro, in modo da poter esplicitare \(y\) e \(z\). $$ \begin{array}{c|lcr} y’\cos\beta &= &y\cos^2\beta &- &z\sin\beta\cos\beta &+\\ z'\sin\beta&= &y\sin^2\beta &+ &z\sin\beta\cos\beta\\ \hline y’\cos\beta+z'\sin\beta &= &y\cancelto{1}{(\cos^2\beta+\sin^2\beta)} &+ &0 \\ \end{array} $$ $$y = y'\cos\beta + z'\sin\beta$$ \begin{array}{c|lcr} y’\sin\beta &= &y\sin\beta\cos\beta &- &z\sin^2\beta &-\\ z'\cos\beta&= &y\sin\beta\cos\beta &+ &z\cos^2\beta\\ \hline y’\sin\beta-z'\cos\beta &= &0 &- &z\cancelto{1}{(\cos^2\beta+\sin^2\beta)} \\ \end{array} Bene, il sistema di equazioni da usare è, quindi, il seguente. Andremo a sostituirle nell'equazione del cono. $$ \begin{cases} x=x' \\ y = y'\cos\beta + z'\sin\beta\\ z= -y'\sin\beta + z'\cos\beta\\ \end{cases} $$ L'equazione del cono di partenza è questa: $$x^2-\frac{y^2}{m^2}+z^2=0$$ Andiamo a sostituire x, y e z: $$x'^2-\frac{(y'\cos\beta + z'\sin\beta)^2}{m^2}+(-y'\sin\beta + z'\cos\beta)^2=0$$ Moltiplichiamo tutto per \(m^2\) in modo da eliminare le frazioni. $$m^2x'^2-(y'\cos\beta + z'\sin\beta)^2+m^2(-y'\sin\beta + z'\cos\beta)^2=0$$ e sviluppiamo: $$m^2x'^2-(y'^2\cos^2\beta + z'^2\sin^2\beta+2y'z'\sin\beta\cos\beta)+m^2(y'^2\sin^2\beta + z'^2\cos^2\beta-2y'z'\sin\beta\cos\beta)=0$$ $$m^2x'^2+y'^2(\sin^2\beta-m^2\cos^2\beta)+z'^2(\cos^2\beta-m^2\sin^2\beta)-2y'z'\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0$$ Moltiplico e divido alcuni termini per \(cos^2\beta\), in modo da fare qualche semplificazione: $$m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)+\cancelto{0}{z'^2(m^2-\cancelto{m^2}{\frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}})}-2y'z'\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0$$ Infine, otteniamo: $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)-2y'z'\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0}$$ Questa è l'equazione che ci permette di ruotare il cono. Adesso dobbiamo traslarlo lungo l'asse \(z'\) della distanza tra il punto di vista e l'orizzonte. Questa distanza è pari a: $$dist=\frac{h}{\sin\beta}$$ Per poterla inserire nella equazione, basta sottrarre \(dist\) all'incognita \(z'\): $$ m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)-2y'(z'-dist)\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0$$ Quindi, sostituendo \(dist\) otteniamo: $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)-2y'\left(z'-\frac{h}{\sin\beta}\right)\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0}$$ Bene, questa è l'equazione parametrica del cono. Da questa, possiamo facilmente trovare l'equazione che descrive l'orizzonte imponendo \(z'=0\). $$m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)+2y'\frac{h}{\sin\beta}\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0$$ Facendo qualche semplificazione, possiamo finalmente scrivere l'equazione dell'orizzonte: $$\bbox[5px,border:2px solid red]{m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)+2y'h\cos\beta(1+m^2)=0}$$

Siamo arrivati al termine di questa prima parte, ricca di ragionamenti e calcoli.

Concludieremo l'argomento con l'introduzione dei parametri fotografici e la presentazione del nuovo simulatore d'orizzonte nel prossimo articolo.

A prestissimo. R0D4N

Capire l'orizzonte

Ultimamente sto pensando a diversi argomenti interessanti dei quali vorrei parlarvi, spero a breve, ma mi ritrovo a dover spostare l'attenzione su questioni cruciali che, solo adesso mi rendo conto, sono completamente ignote o mal interpretate (credo, in generale, in buona fede) da chi crede nella terra piatta. 

Sono anche abbastanza sicuro che non sono ostiche solo per i terrapiattisti ma che anche molte persone consapevoli della sfericità terrestre non  hanno riflettuto e compreso pienamente. 

Quindi, oggi parliamo di uno di questi argomenti: 

Com'è fatto l'orizzonte e perché lo vediamo piatto stando a bassa quota

Bene, sulla questione ho incontrato voci critiche di questo tipo: 

"Ma come? La forma dell'orizzonte è ancora in dubbio? Sappiamo benissimo qual è la forma della curvatura terrestre, ribadita da tutti i calcolatori d'orizzonte sparsi per il web. L'orizzonte deve avere la stessa forma. E' ovvio!"

Purtroppo no. Non è ovvio proprio per niente. 

La forma dell'orizzonte non è una esclusiva caratteristica geometrica della Terra, ma ha molto a che fare con il nostro sistema visivo e varia in base alla quota alla quale ci troviamo ed all'ampiezza del nostro campo visivo. 

OK, detta così non vi dirà molto, immagino. Entriamo nel dettaglio.

Per il momento, prendete per buono quanto vi sto per dire. Poi lo capirete: 

 CURVATURA ED ORIZZONTE NON SONO LA STESSA COSA. 

Sono due curve che si ottengono mediante due procedimenti completamente diversi.

Nelle spiegazioni che seguiranno, considererò la Terra come una sfera perfetta e senza rifrazione, dettagli che risultano ininfluenti per la comprensione della forma dell'orizzonte. Voglio anche anticiparvi che le considerazioni che troverete sono pure e semplici applicazioni di geometria bi-tridimensionale e che valgono, in via astratta, a prescindere dalla questione riguardante la forma della Terra.

Partiamo da come si ottiene la forma della curvatura.

La cosa è abbastanza banale: si prende una sfera e si taglia con un piano passante per il centro della sfera. I punti di intersezione identificano una circonferenza che rappresenta l'incurvamento della superficie.

E non importa quale piano di taglio scegliamo...

 

perché otterremo, per ciascuna intersezione, la medesima circonferenza.

Penso che l'operazione sia assolutamente chiara e comprensibile e che non necessiti di ulteriori spiegazioni.

Ora, veniamo all'orizzonte.

Dobbiamo necessariamente comprendere due aspetti fondamentali:

1- Com'è fatto l'orizzonte

2- Come percepiamo l'orizzonte.

Prima di affrontare questi due punti, però, occorre fare un passaggio propedeutico, comprendendo come funziona la nostra vista.

Perché, a differenza della CURVATURA, l'ORIZZONTE non è una caratteristica intrinseca della Terra, ma esiste solo ed esclusivamente se c'è qualcuno che osserva. 

SENZA OSSERVATORE,  

L'ORIZZONTE NON ESISTE.

Come già spiegato negli articoli dedicati alla prospettiva, noi vediamo la realtà che ci circonda perché l'informazione luminosa, proveniente dall'ambiente circostante, converge viaggiando in linea retta verso il nostro occhio e si va a proiettare sulla retina.

Potremmo idealmente rappresentare questa informazione collegando dei fili tra gli oggetti ed il punto di osservazione, ed utilizzare un piano d'intersezione sul quale si andrà a formare l'immagine prospettica.

(similmente a come avviene sulla retina dell'occhio o sul sensore di una fotocamera).

Questa tecnica veniva adottata praticamente dagli artisti a partire dal rinascimento. Come si può vedere da una illustrazione di Albrecht Dürer, il punto visivo era simulato da un anello fissato al muro dal quale veniva tirata una corda dritta ad intercettare il bordo di un liuto. Questa corda passava all'interno di un quadro sul quale veniva, di volta in volta, registrato il punto di intersezione. Ciò veniva ripetuto spostando l'estremo della corda lungo il bordo del liuto.

Quindi, la visione si può sintetizzare in questa maniera: occorre un punto di osservazione, verso il quale convergono le informazioni luminose, ed un quadro che lo intercetta, sul quale si forma l'imagine prospettica.

Ora, vediamo come si applica lo stesso principio per trovare la forma dell'orizzonte.

1- Com'è fatto l'orizzonte

Per capire com'è fatto l'orizzonte occorre prima comprendere cosa sia, effettivamente, l'orizzonte.

Per definizione, dato un punto di osservazione, l'orizzonte è il profilo limite percepito dall'osservatore, che separa la terra dal cielo.

Quindi, riflettendo su quello che abbiamo appena detto per quanto riguarda la visione, occorre un punto di vista e dobbiamo tracciare idealmente delle linee rette che vanno a traguardare questo limite che si trova tra cielo e terra.

Questa cosa l'abbiamo già vista in 2D in modo del tutto semplificato nelle classiche immagini dei calcolatori d'orizzonte.

Abbiamo un omino, che sta a rappresentare il punto di vista e che si trova sulla superficie curva terrestre ed abbiamo una semiretta che parte dall'omino e che individua il punto tangente alla curva.

Tale punto rappresenta, nel piano, la distanza dell'orizzonte rispetto all'osservatore.

Se variamo la quota dell'omino, varierà necessariamente anche il punto di tangenza e, quindi, la distanza dell'orizzonte.

Come abbiamo detto, però, questo è un caso semplificato bidimensionale che viene utilizzato per illustrare come si trova la distanza dell'orizzonte dall'osservatore.

Vediamo la cosa tridimensionalmente.

Questa è la mira del nostro omino sulla sfera che individua, davanti a sé, la distanza dell'orizzonte.
Ma lui non vede solo un punto dell'orizzonte. Lui vede una linea. Vede quella porzione di orizzonte che gli consente il suo CAMPO VISIVO.

Quindi, dobbiamo trovare gli altri punti dell'orizzonte che l'omino è in grado di vedere nel suo campo visivo.

Come facciamo?

Ma nella stessa maniera utilizzata fino ad ora. Lanciamo le tangenti alla sfera che partono dal punto di vista dell'omino, che rientrano nel suo campo visivo.

Se ripetiamo questa operazione facendo un giro di 360° otterremo questo:

Ovvero, l'orizzonte è un arco (delimitato dal campo visivo dell'osservatore) appartenente alla circonferenza di base di un cono, il cui vertice è rappresentato dal punto di vista.

E questo cono varia dinamicamente al cambiare della quota dell'osservatore

Come potete notare, dal punto di vista dell'osservatore, i punti dell'orizzonte si trovano esattamente tutti alla stessa quota.
L'ho già detto ma non fa male ripeterlo: Guardando l'orizzonte, l'osservatore non guarda affatto la curvatura terrestre, ma osserva un arco di circonferenza dal vertice di un cono.
 
Capisco che la cosa sia assolutamente controintuitiva e che ci si possa aspettare di vedere la curvatura a qualsiasi quota, ma funziona proprio così.

Una volta capita qual è la forma dell'orizzonte, possiamo passare al secondo punto, ovvero:

2- Come percepiamo l'orizzonte

Aver stabilito la forma dell'orizzonte non significa che noi la vediamo così com'è.

La nostra percezione visiva è sempre soggettiva, vincolata alle regole della prospettiva e legata al punto dal quale osserviamo e nella direzione in cui guardiamo.

Allora, come funziona la nostra percezione dell'orizzonte?

In realtà l'ho già ampiamente spiegato.

L'immagine che percepiamo è quella che si va ad imprimere sulla nostra retina, o su un sensore di fotocamera, o su qualsiasi piano che noi utilizziamo per intercettare l'informazione luinosa relativa all'orizzonte.

A questo punto, dagli scettici mi attendo un'argomentazione simile:

"Tu stai facendo vedere un'orizzonte curvo, ma tutti possono vedere che l'orizzonte è assolutamente dritto. Quindi la Terra è piatta".

Ma gli esempi fatti sono fuori scala per spiegare come funziona geometricamente il fenomeno.

L'ho anticipato fin dall'inizio: la spiegazione si basa sulla applicazione di semplice geometria bi-tridimensionale. 

Vediamo, quindi, come mai, stando a quota del mare , non vediamo l'orizzonte curvare.

Il cono visivo di un punto di vista a 2 metri sul livello del mare determina un cono di tangenza alla superficie terrestre con un raggio di circa 5 km.

Il cono è talmente schiacciato che è veramente molto difficile da distinguere da un piano.

Guardando questa sequenza è assolutamente intuitivo comprendere che non ci si può aspettare di vedere un orizzonte curvato. Ma la cosa non cambia di molto nemmeno se ci alziamo di migliaia di metri, perché è vero che l'altezza del triangolo aumenta, ma si allarga anche la base.

Nella sequenza successiva ho simulato in un software 3D idealmente come vedrebbe l'orizzonte una telecamera con un FOV di 90° che va dai 0 m ai 20000 metri di quota.

Sottolineo che la cosa è del tutto ideale, perché la situazione naturale è disturbata da fenomeni che non permettono di poter contemplare l'orizzonte con questa chiarezza (foschia, presenza di nuvole, ridotto campo visivo)

Ma se si prendono i video di palloni sonda d'alta quota realizzati con lenti non distorsive (non fisheye) la curva che fa l'orizzonte a quote intorno ai 20000 metri è del tutto compatibile con quella di questa sequenza.

Nella immagine successiva potete vedere l'orizzonte ripreso da una gopro a cui è stata sostituita la lente con una non distorsiva (4.35 mm) ad una quota di circa 35000 metri.

Il video dal quale ho preso questo fotogramma si chiama High Altitude Balloon 1 Raw Full uncut Footage e l'autore si chiama Dwayne Kellum.

In ogni modo, l'analisi di questo ed altri video di palloni ad alta quota senza lenti distorsive sarà argomento di un prossimo video piuttosto che di un articolo, che spero di completare al più presto.

Penso di aver detto tutto e spero che la spiegazione sia sufficientemente chiara ed esaustiva. 

Come di consueto, vi invito a lasciare commenti se ci sono questioni che non avete afferrato o che criticate. 

Ci vediamo al prossimo articolo.