L'equazione dell'orizzonte

Salve a tutti. Oggi voglio riprendere l'argomento affrontato nell'articolo precedente, ovvero la forma dell'orizzonte e la sua percezione, e lo approfondirò dandone una descrizione matematica. Sì, in questo articolo scriveremo una equazione che descrive l'andamento dell'orizzonte in base alla quota dell'osservatore.

Sono consapevole che questo non sarà un articolo che incontrerà l'interesse di tutti, ma penso che sia importante per due ragioni:

- La prima è che questa trattazione è una dimostrazione lampante della difficoltà che, spesso, si incontra nel descrivere matematicamente un fenomeno fisico. Capita molto di frequente di incontrare persone che pensano di risolvere le quesioni in quattro e quattr'otto con qualche formuletta di loro conoscenza non attinente e male applicata, perché non capiscono minimamente la portata del problema.

- La seconda è che sono in procinto di aggiornare la pagina del simulatore d'orizzonte con la possibilità di fare ulteriori operazioni (ad esempio introducendo le caratteristiche di una fotocamera). Questo articolo e quello che seguirà a breve rappresenteranno la documentazione tecnica del nuovo simulatore, che chiunque potrà consultare e verificare.

Quindi, questo articolo tratterà l'equazione che descrive la curva dell'orizzonte rispetto alla quota dell'osservatore, mentre nel successivo articolo vedremo quanta parte di questa curva siamo in grado di vedere in base al campo visivo disponibile (definendolo attraverso parametri fotografici) e verificheremo la bontà del calcolo mediante il confronto con una simulazione in un software 3D (Blender) e con casi reali di riprese dell'orizzonte ad alta quota senza l'utilizzo di lenti distorsive.

Sarà una intensa galoppata tra geometria analitica bi-tridimensionale e trigonometria applicata.

Un'ultima nota prima di partire: quanto riportato di seguito rappresenta una descrizione matematica approssimata della curva dell'orizzonte. Nel calcolo si considera la Terra come una sfera perfetta di raggio pari a \(r=6371\) km (raggio medio terrestre), non vengono considerati effetti atmosferici.

Bene, adesso che siete stati avvisati a cosa state per andare in contro, possiamo cominciare.

Nell'articolo precedente abbiamo visto come l'orizzonte sia sostanzialmente un arco della circonferenza determinata dal cono visivo tangente alla sfera, dove il vertice del cono è il punto di vista.

Questo cono varia in base alla quota dell'osservatore, quindi possiamo tentare di parametrizzarlo attraverso questa quota, ovvero di scrivere una equazione del cono che varia in base al parametro \(q\).

Partiamo con il definire il cono, in modo che si modifichi in base alla quota dell'osservatore. Dobbiamo cercare tutti i parametri che variano in base quota ed attraverso i quali è possibile scrivere l'equazione del cono.

Per fare questo, possiamo facilitarci la vita, trovando le proprietà del cono attraverso la sua proiezione 2D, considerando la circonferenza massima della sfera e le sue rette tangenti passanti per il punto in quota
Consideriamo, quindi la circonferenza così descritta : $$x^2+y^2+dy=0$$ dove $$d=2r$$ \(r\) è il raggio della circonferenza (raggio medio terrestre)

La caratteristica di questa circonferenza è che non avrà centro all'incrocio del sistema degli assi, ma centro \(C=(0,-r)\), di modo che l'origine del riferimento del sistema cartesiano possa rappresentare la quota 0 del nostro ragionamento.

Consideriamo, quindi, un punto \(P=(0,q)\) che rappresenta la quota alla quale si trova il punto di vista.

Il cono di tangenza verrà parametrizzato sulla base di questo punto.

Adesso, vogliamo trovare una retta, passante per il punto \(P\) e tangente alla circonferenza. L'equazione della retta sarà di questo tipo: $$y=mx+q$$

Dobbiamo, quindi, trovare per quale valore di \(m\), la retta diventa tangente alla circonferenza. Per fare questo, mettiamo a sistema le equazioni della circonferenza e della retta. $$ \begin{cases} x^2+y^2+dy=0 \\ y=mx+q \\ \end{cases} $$

Andiamo a sostituire la \(y\) della retta nell'equazione della circonferenza: $$x^2+(mx+q)^2+d(mx+q)=0$$ $$x^2+m^2x^2+q^2+2qmx+dmx+dq=0$$ Perveniamo ad una equazione di secondo grado in \(x\): $$\underbrace{(1+m^2)}_{\text{A}}x^2+\underbrace{(2q+d)m}_{\text{B}}x+\underbrace{q^2+dq}_{\text{C}}=0$$ Che si sviluppa con la classica formula risolutiva: $$ x = {-B \pm \sqrt{B^2-4AC} \over 2A}$$ Ma noi stiamo cercando il coefficiente angolare per il quale la retta è tangente, e questo si trova imponendo: \(B^2-4AC=0\) (Condizione di tangenza) $$ (2q+d)^2m^2-4(1+m^2)(q^2+dq)=0$$ $$ \require{cancel}\cancel{4q^2m^2}+d^2m^2+\cancel{4dqm^2}-4q^2-4dq-\cancel{4q^2m^2}-\cancel{4dqm^2}=0$$ $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{m=\pm\frac{2}{d}\sqrt{q^2+dq}}$$ Bene, abbiamo trovato il coefficiente angolare \(m\) della retta tangente. In realtà, abbiamo due coefficienti perché, da un punto esterno ad una circonferenza, passano due rette tangenti ad essa.

A questo punto, ci interessa di trovare le coordinate dei punti di tangenza. Questo possiamo farlo andando a sostituire la \(y\) della retta parametrizzata nell'equazione della circonferenza. Per fare questo, sceglieremo una sola delle due rette, quella con il coefficiente angolare positivo: $$y_t=\frac{2}{d}x\sqrt{q^2+dq}+q$$ $$x^2+(\frac{2}{d}x\sqrt{q^2+dq}+q)^2+d(\frac{2}{d}x\sqrt{q^2+dq}+q)=0 $$ Sostituiamo: $$x^2+\frac{4}{d^2}x^2(q^2+dq)+q^2+\frac{4q}{d}x\sqrt{q^2+dq}+2x\sqrt{q^2+dq}+dq=0 $$ $$x^2\underbrace{\cancelto{(d+2q)^2}{(d^2+4q^2+4dq)}}_{\text{A}}+x\underbrace{2d(2q+d)\sqrt{q^2+dq}}_{\text{B}}+\underbrace{d^2q^2+d^3q}_{\text{C}}=0 $$ Otteniamo una nuova equazione di secondo grado, che risolviamo con la formula risolutiva. (Poiché la retta è tangente, ci aspettiamo che \(B^2-4AC=0\) (lo useremo come verifica): $$ x_t = {-B \pm \sqrt{B^2-4AC} \over 2A}$$ $$ x_t = {-2d(2q+d)\sqrt{q^2+dq} \pm \sqrt{[2d(2q+d)\sqrt{q^2+dq}]^2-4(d+2q)^2(d^2q^2+d^3q)} \over 2(d+2q)^2}$$ $$ x_t = {-2d(2q+d)\sqrt{q^2+dq} \pm \sqrt{\cancel{4d^2q(2q+d)^2(q+d)}-\cancel{4d^2q(d+2q)^2(q+d)}} \over 2(d+2q)^2}$$ (\(B^2-4AC=0\) effettivamente si verifica, come previsto): $$ x_t = {-\cancel{2}d\cancel{(2q+d)}\sqrt{q^2+dq} \over \cancel{2}(d+2q)^\cancel{2}}$$ $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{x_t = -\frac{d}{d+2q}\sqrt{q^2+dq}}$$ Abbiamo trovato la coordinata \(x_t\) del punto tangente alla curva. Adesso calcoliamo la componente \(y_t\) inserendo \(x_t\) nell'equazione della retta tangente: $$y_t=-\frac{2}{\cancel{d}}\left(\frac{\cancel{d}}{d+2q}\sqrt{q^2+dq}\right)\sqrt{q^2+dq}+q$$ $$y_t=-\frac{2}{d+2q}(q^2+dq)+q$$ $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{y_t = -2q\frac{d+q}{d+2q}+q}$$ Abbiamo trovato entrambe le coordinate del punto \(T(x_t,y_t)\) parametrizzate in base alla quota \(q\)

Abbiamo trovato tutti gli elementi utili a caratterizzare il nostro cono di tangenza, e siamo riusciti a parametrizzarlo in base alla quota dell'osservatore \((q)\). La cosa funziona talmente bene che possiamo addirittura "staccare" il cono di tangenza dalla sfera. Possiamo, di fatti, calcolare l'altezza del cono dalla base variabile ed analizzare il nostro cono a parte, sapendo che, comunque, la circonferenza di base rappresenta sempre l'orizzonte rispetto al punto di vista. Per fare questo, quindi, calcoliamo la distanza \(h\): $$ h=q-y_t$$ $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{h = 2q\frac{d+q}{d+2q}}$$

Vediamo meglio la cosa spostandoci alla visione tridimensionale. Grazie ai parametri calcolati \((m, h)\) possiamo scrivere il cono tangente parametrico che ha la seguente equazione: $$x^2 + y^2-\frac{(z-h)^2}{m^2}=0$$ dove \(m\) ed \(h\) sono i parametri appena calcolati.

Come abbiamo già detto, poichè il cono varia esclusivamente in funzione della quota, possiamo analizzarlo a parte ricordando, comunque, che la sua base circolare è l'orizzonte terrestre di cui vogliamo trovare una equazione in base alla vista.

Abbiamo trovato l'equazione del cono tangente alla sfera, parametrizzato esclusivamente con la quota \(q\). Ora, dopo aver definito il cono di visione ela circonferenza di base alla quale appartiene l'arco d'orizzonte, vogliamo esprimere matematicamente quella che è la nostra percezione dell'orizzonte. La percezione prospettica che noi abbiamo dell'orizzonte è quella che si individua attraverso un piano secante il cono e perpendicolare alla direzione della vista.

L'orizzonte è esattamente la linea di intersezione tra cono e piano.

Occorre, però, risolvere un problema affinché noi possiamo pervenire all'equazione di questa curva: il piano sul quale giace la curva è definito nello spazio tridimensionale, mentre a noi interessa avere un sistema di riferimento cartesiano che ruoti assieme al piano per definire bidimensionalmente la curva dell'orizzonte su un riferimento bidimensionale. Questo può essere ottenuto cambiando sistema di riferimento (quindi passiamo da \(O(x,y,z)\) ad \(O'(x'y'z')\)) ruotandolo dello stesso angolo di pendenza del cono(angolo \(\beta=atan(m)\)). In questa maniera, la curva dell'orizzonte sarà definita sul piano \(x'y'\) del nuovo sistema di riferimento.

Quello che vogliamo ottenere è, sostanzialmente, questo:

Chi è stato attento e ha osservato bene cosa mostra questa animazione, avrà capito che, in realtà, non abbiamo solo una rotazione del cono, ma anche una sua traslazione, perché il vertice si sposta lungo l'asse \(z'\) della distanza tra l'osservatore e l'orizzonte.

La cosa positiva è che possiamo occuparci separatamente di queste due componenti (rotazione e traslazione).

Occupiamoci della prima.

Vogliamo ruotare il cono parametrico attorno all'asse \(x\), quindi consideriamo, come condizione di partenza,l'equazione del cono con asse di simmetria lungo l'asse \(y\) e vertice nell'origine \(O\) del sistema.

L'equazione di tale cono è la seguente: $$x^2-\frac{y^2}{m^2}+z^2=0$$ Vi faccio notare che l'equazione è ancora parametrizzata secondo il valore \(q\) che rappresenta la quota dell'osservatore, attraverso \(m\). Si tratta sempre dello stesso cono, ma lo abbiamo disposto diversamente nello spazio.

Vogliamo, quindi, fare in modo che il sistema di riferimento ruoti di un angolo pari alla pendenza del cono, in modo che il profilo di pendenza rimanga sempre ortogonale al piano \(xy\) (che, nel nuovo sistema di riferimento sarà il piano \(x'y'\)). Ovviamente,l'angolo di rotazione varia perchè la pendenza del cono varia al variare di \(q\).

Il risultato che cerchiamo è questo:

Matematicamente, la rotazione di un riferimento cartesiano si ottiene mediante un sistema di equazioni che esprimono il nuovo riferimento in funzione di quello di partenza. Per ottenere un riferimento \(O'(x',y',z')\) ruotato attorno all'asse \(x\) del riferimento \(O(x,y,z)\), si utilizza il seguente sistema di equazioni: $$ \begin{cases} x'=x \\ y’ = y\cos\beta - z\sin\beta\\ z'= y\sin\beta + z\cos\beta\\ \end{cases} $$ Per poter utilizzare questo sistema, occorre che otteniamo il sistema inverso, ovvero il riferimento in \(O(x,y,z)\), in funzione del nuovo riferimento, in modo da poter fare le sostituzioni nell'equazione del cono.

Quindi, quello che vogliamo fare è esprimere \(x, y\) e \(z\) in funzione di \(x', y'\) e \( z'\).

La prima equazione è facile:

Vogliamo che il nuovo sistema ruoti attorno ad \(x\). Quindi \(x'=x\) e viceversa. $$ x=x'$$ Per trovare \(y\) e \(z\) in funzione di \(y'\) e \(z'\), usiamo un pò di "trucchi", moltiplicando le equazioni per delle quantità opportune e sommando o sottraendo le equazioni tra di loro, in modo da poter esplicitare \(y\) e \(z\). $$ \begin{array}{c|lcr} y’\cos\beta &= &y\cos^2\beta &- &z\sin\beta\cos\beta &+\\ z'\sin\beta&= &y\sin^2\beta &+ &z\sin\beta\cos\beta\\ \hline y’\cos\beta+z'\sin\beta &= &y\cancelto{1}{(\cos^2\beta+\sin^2\beta)} &+ &0 \\ \end{array} $$ $$y = y'\cos\beta + z'\sin\beta$$ \begin{array}{c|lcr} y’\sin\beta &= &y\sin\beta\cos\beta &- &z\sin^2\beta &-\\ z'\cos\beta&= &y\sin\beta\cos\beta &+ &z\cos^2\beta\\ \hline y’\sin\beta-z'\cos\beta &= &0 &- &z\cancelto{1}{(\cos^2\beta+\sin^2\beta)} \\ \end{array} Bene, il sistema di equazioni da usare è, quindi, il seguente. Andremo a sostituirle nell'equazione del cono. $$ \begin{cases} x=x' \\ y = y'\cos\beta + z'\sin\beta\\ z= -y'\sin\beta + z'\cos\beta\\ \end{cases} $$ L'equazione del cono di partenza è questa: $$x^2-\frac{y^2}{m^2}+z^2=0$$ Andiamo a sostituire x, y e z: $$x'^2-\frac{(y'\cos\beta + z'\sin\beta)^2}{m^2}+(-y'\sin\beta + z'\cos\beta)^2=0$$ Moltiplichiamo tutto per \(m^2\) in modo da eliminare le frazioni. $$m^2x'^2-(y'\cos\beta + z'\sin\beta)^2+m^2(-y'\sin\beta + z'\cos\beta)^2=0$$ e sviluppiamo: $$m^2x'^2-(y'^2\cos^2\beta + z'^2\sin^2\beta+2y'z'\sin\beta\cos\beta)+m^2(y'^2\sin^2\beta + z'^2\cos^2\beta-2y'z'\sin\beta\cos\beta)=0$$ $$m^2x'^2+y'^2(\sin^2\beta-m^2\cos^2\beta)+z'^2(\cos^2\beta-m^2\sin^2\beta)-2y'z'\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0$$ Moltiplico e divido alcuni termini per \(cos^2\beta\), in modo da fare qualche semplificazione: $$m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)+\cancelto{0}{z'^2(m^2-\cancelto{m^2}{\frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}})}-2y'z'\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0$$ Infine, otteniamo: $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)-2y'z'\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0}$$ Questa è l'equazione che ci permette di ruotare il cono. Adesso dobbiamo traslarlo lungo l'asse \(z'\) della distanza tra il punto di vista e l'orizzonte. Questa distanza è pari a: $$dist=\frac{h}{\sin\beta}$$ Per poterla inserire nella equazione, basta sottrarre \(dist\) all'incognita \(z'\): $$ m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)-2y'(z'-dist)\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0$$ Quindi, sostituendo \(dist\) otteniamo: $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)-2y'\left(z'-\frac{h}{\sin\beta}\right)\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0}$$ Bene, questa è l'equazione parametrica del cono. Da questa, possiamo facilmente trovare l'equazione che descrive l'orizzonte imponendo \(z'=0\). $$m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)+2y'\frac{h}{\sin\beta}\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0$$ Facendo qualche semplificazione, possiamo finalmente scrivere l'equazione dell'orizzonte: $$\bbox[5px,border:2px solid red]{m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)+2y'h\cos\beta(1+m^2)=0}$$

Siamo arrivati al termine di questa prima parte, ricca di ragionamenti e calcoli.

Concludieremo l'argomento con l'introduzione dei parametri fotografici e la presentazione del nuovo simulatore d'orizzonte nel prossimo articolo.

A prestissimo. R0D4N