Eccoci alla seconda parte, che completa la precedente in cui abbiamo trovato l'equazione che descrive matematicamente la curva dell'orizzonte.
Ci eravamo lasciati con questa formula matematica:
$$\bbox[5px,border:2px solid red]{m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)+2y'h\cos\beta(1+m^2)=0}$$ dove, noti \(d\) (diametro medio terrestre) e \(q\) (quota del punto di vista), abbiamo:
\(m=\frac{2}{d}\sqrt{q^2+dq}\)
\(h=2q\frac{d+q}{d+2q}\)
\(\beta=\arctan(m)\)
Manca ancora una cosa affinché la curva possa avere un impiego pratico: fino a questo punto non abbiamo ancora introdotto il CAMPO VISIVO, che è quello che definisce quanta parte di questa curva riusciamo a vedere.
Quindi, introduciamo il campo visivo, del quale parlerò in termini fotografici, in maniera da poter poi utilizzare dei parametri ottici di fotocamere note nel simulatore d'orizzonte.
I due elementi essenziali di una fotocamera sono il sensore (il riquadro sensibile alla luce sul quale si forma l'immagine prospettica) e la lente, il cui centro è posto ad una distanza prestabilita dal sensore,chiamata focale. Bene, in base alle dimensioni del sensore ed alla distanza focale della lente è possibile definire il campo visivo attraverso l'angolo di campo, anche chiamato FOV (Field Of View, che significa letteralmente, campo visivo).
Generalmente, si definisce come angolo di campo (FOV), l'angolo delvertice del triangolo isoscele costruito sulla diagonale del sensore ed avente come altezza la focale.
La lunghezza della Diagonale del sensore si trova facilmente applicando il teorema di Pitagora: $$ D_s=\sqrt{L_s^2+H_s^2}$$
Trovata la diagonale, il triangolo che si forma su di essa avente come altezza la lunghezza focale, definisce l'angolo di campo (FOV).
$$FOV=\arctan\left( \frac{D_s}{2f}\right)$$
Oltre all'angolo costruito sulla diagonale, torna utile conoscere anche il \(FOV\) orizzontale e verticale, ottenuti sostituendo alla \(D_s\) nella formula rispettivamente i valori \(L_s\) (larghezza del sensore) ed \(H_s\) (altezza del sensore). $$FOV_o=\arctan\left( \frac{L_s}{2f}\right)$$ $$FOV_v=\arctan\left( \frac{H_s}{2f}\right)$$ Abbiamo capito come definire il campo visivo di una nostra ipotetica fotocamera.
Adesso, però, vogliamo sapere quanta parte di orizzonte riusciamo a vedere. Per fare questo, ci occorre sapere la distanza dell'osservatore dall'orizzonte. Ma questa l'abbiamo già calcolata nell'articolo precedente: $$dist=\frac{h}{\sin(\beta)}$$ Attraverso questa distanza possiamo costruire una piramide simile a quella che si forma all'interno della fotocamera, la cui base è la porzione di scena inquadrata. Possiamo sapere quanto è ampio questo riquadro attraverso delle semplici proporzioni:
$$ L=L_s\frac{dist}{focale}$$
$$ H=H_s\frac{dist}{focale}$$
Abbiamo definito il riquadro che contiene la porzione di curva che siamo in grado di vedere, in base al campo visivo. Ovviamente, essendo variabile la distanza del punto di vista dall'orizzonte, sarà variabile anche la nostra inquadratura.
Adesso, invece di variare le dimensioni del riquadro in base alla distanza dell'orizzonte rispetto al punto di vista, possiamo mantenere il quadro fisso è scalare il sistema di riferimento in modo coerente ai calcoli.
Questa cosa è abbastanza semplice da ottenere in Geogebra: Basta inserire le variabili della larghezza del riquadro come parametri per la dimensione della finestra.
Abbiamo tutto ciò che ci serve per impostare il simulatore d'orizzonte, nel quale sarà possibile scegliere i parametri del sensore della fotocamera e della focale della lente.
Bene, a questo punto il simulatore è, sostanzialmente completo.
Ma è necessario fare ancora due cose molto importanti prima di considerarlo uno strumento valido:
- bisogna fare una riprova della bontà della formula finale. Occorre verificare con un altro metodo se il risultato del simulatore è attendibile.
- bisogna mettere alla prova sul campo il simulatore. Occorre prendere dei video ad alta quota in cui si vede l'orizzonte che fa la curva e che sia stato realizzato con delle lenti non distorsive.
In questo articolo, vediamo di verificare il primo punto. L'utilizzo sul campo del siulatore con verifica della curva dell'orizzonte e, quindi, della curvatura terrestre, avrà un articolo e/o video dedicato.
Ma, come facciamo a verificare se il simulatore sta tirando fuori una curva che ha senso?
L'idea che, mi è venuta è quella di utilizzare un software di grafica 3D e di simulare tridimensionalmente quello che dovrebbe rappresentare il simulatore. (Se qualcuno ha altri sistemi di verifica, mi farebbe piacere utilizzarli per testare il simulatore)
Il software che utilizzerò è Blender, gratuito e realizzato in Python, con delle caratteristiche che sono precise per questa verifica.
L'idea per la verifica è molto semplice. Si realizza una sfera di raggio pari a 6371 (km) e con centro C di coordinate [0,0,-6371] (come eravamo partiti con la circonferenza dell'articolo precedente.
Poi si utilizza una telecamera con caratteristiche di sensore e focale prestabilite (e, in questo, Blender è formidabile perché permette di inserire esattamente i valori per sensore e focale) e lo si fa salire di quota facendolo puntare sempre verso l'orizzonte. Per il test ho utilizzato il sensore di una GoPro3 Black (6.17x 5.44 mm) e la focale (f=4.35mm) di una lente non distorsiva per GoPro.
E qui viene in gioco un altra caratteristica molto interessante di Blender, ovvero la possibilità di programmare in Python lo spostamento e la rotazione della telecamera: Possiamo, in pratica,inserire nelo script la formula per calcolare il coefficiente angolare m e quindi gestire matematicamente spostamento e rotazione della telecamera.
Lo script utilizzato è il seguente.
Questo script va a registrare lo spostamento verticale e rotazione della telecamera in 100 frame partendo da una quota di 20 km incrementata con uno step di 20 km per frame fino ad arrivare, quindi, a 2000 km. La scelta dello step e dei limiti è del tutto arbitrario.
La prossima sequenza mostra il funzionamento dello script su di una vista laterale,
mentre in questa sequenza si vede ciò che riprende la telecamera mentre sale e ruota per puntare l'orizzonte.
Non ci resta da fare altro che far "simulare al simulatore" la stessa situazione, ovvero partendo da una quota di 20 km, salendo con uno step di 20 km fino a 2000 km, utilizzando gli stessi parametri di sensore e focale.
Questo è il risultato:
Non ci resta che sovrapporre quanto registrato dalla telecamera di Blender ed il risultato del simulatore. La sovrapposizione è perfetta.
Direi che, per quanto riguarda il funzionamento matematico, il simulatore funzioni correttamente. Vedrò di metterlo a disposizione nei prossimi giorni in modo che chiunque possa testarlo/utilizzarlo e, eventualmente, riportare qualcosa che non funziona o proporre qualche miglioramento.
Anche per questa volta è tutto.
Ci vediamo a prestissimo.
Oltre che alla pubblicazione del simulatore, è quasi pronta una dimostrazione molto interessante sui razzi che, secondo i terrapiattisti, finirebbero in mare invece che in orbita. Stay tuned. R0D4N
Ci eravamo lasciati con questa formula matematica:
$$\bbox[5px,border:2px solid red]{m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)+2y'h\cos\beta(1+m^2)=0}$$ dove, noti \(d\) (diametro medio terrestre) e \(q\) (quota del punto di vista), abbiamo:
\(m=\frac{2}{d}\sqrt{q^2+dq}\)
\(h=2q\frac{d+q}{d+2q}\)
\(\beta=\arctan(m)\)
Manca ancora una cosa affinché la curva possa avere un impiego pratico: fino a questo punto non abbiamo ancora introdotto il CAMPO VISIVO, che è quello che definisce quanta parte di questa curva riusciamo a vedere.
Quindi, introduciamo il campo visivo, del quale parlerò in termini fotografici, in maniera da poter poi utilizzare dei parametri ottici di fotocamere note nel simulatore d'orizzonte.
I due elementi essenziali di una fotocamera sono il sensore (il riquadro sensibile alla luce sul quale si forma l'immagine prospettica) e la lente, il cui centro è posto ad una distanza prestabilita dal sensore,chiamata focale. Bene, in base alle dimensioni del sensore ed alla distanza focale della lente è possibile definire il campo visivo attraverso l'angolo di campo, anche chiamato FOV (Field Of View, che significa letteralmente, campo visivo).
Generalmente, si definisce come angolo di campo (FOV), l'angolo delvertice del triangolo isoscele costruito sulla diagonale del sensore ed avente come altezza la focale.
La lunghezza della Diagonale del sensore si trova facilmente applicando il teorema di Pitagora: $$ D_s=\sqrt{L_s^2+H_s^2}$$
Trovata la diagonale, il triangolo che si forma su di essa avente come altezza la lunghezza focale, definisce l'angolo di campo (FOV).
Oltre all'angolo costruito sulla diagonale, torna utile conoscere anche il \(FOV\) orizzontale e verticale, ottenuti sostituendo alla \(D_s\) nella formula rispettivamente i valori \(L_s\) (larghezza del sensore) ed \(H_s\) (altezza del sensore). $$FOV_o=\arctan\left( \frac{L_s}{2f}\right)$$ $$FOV_v=\arctan\left( \frac{H_s}{2f}\right)$$ Abbiamo capito come definire il campo visivo di una nostra ipotetica fotocamera.
Adesso, però, vogliamo sapere quanta parte di orizzonte riusciamo a vedere. Per fare questo, ci occorre sapere la distanza dell'osservatore dall'orizzonte. Ma questa l'abbiamo già calcolata nell'articolo precedente: $$dist=\frac{h}{\sin(\beta)}$$ Attraverso questa distanza possiamo costruire una piramide simile a quella che si forma all'interno della fotocamera, la cui base è la porzione di scena inquadrata. Possiamo sapere quanto è ampio questo riquadro attraverso delle semplici proporzioni:
Abbiamo definito il riquadro che contiene la porzione di curva che siamo in grado di vedere, in base al campo visivo. Ovviamente, essendo variabile la distanza del punto di vista dall'orizzonte, sarà variabile anche la nostra inquadratura.
Adesso, invece di variare le dimensioni del riquadro in base alla distanza dell'orizzonte rispetto al punto di vista, possiamo mantenere il quadro fisso è scalare il sistema di riferimento in modo coerente ai calcoli.
Questa cosa è abbastanza semplice da ottenere in Geogebra: Basta inserire le variabili della larghezza del riquadro come parametri per la dimensione della finestra.
Abbiamo tutto ciò che ci serve per impostare il simulatore d'orizzonte, nel quale sarà possibile scegliere i parametri del sensore della fotocamera e della focale della lente.
Bene, a questo punto il simulatore è, sostanzialmente completo.
Ma è necessario fare ancora due cose molto importanti prima di considerarlo uno strumento valido:
- bisogna fare una riprova della bontà della formula finale. Occorre verificare con un altro metodo se il risultato del simulatore è attendibile.
- bisogna mettere alla prova sul campo il simulatore. Occorre prendere dei video ad alta quota in cui si vede l'orizzonte che fa la curva e che sia stato realizzato con delle lenti non distorsive.
In questo articolo, vediamo di verificare il primo punto. L'utilizzo sul campo del siulatore con verifica della curva dell'orizzonte e, quindi, della curvatura terrestre, avrà un articolo e/o video dedicato.
Ma, come facciamo a verificare se il simulatore sta tirando fuori una curva che ha senso?
L'idea che, mi è venuta è quella di utilizzare un software di grafica 3D e di simulare tridimensionalmente quello che dovrebbe rappresentare il simulatore. (Se qualcuno ha altri sistemi di verifica, mi farebbe piacere utilizzarli per testare il simulatore)
Il software che utilizzerò è Blender, gratuito e realizzato in Python, con delle caratteristiche che sono precise per questa verifica.
L'idea per la verifica è molto semplice. Si realizza una sfera di raggio pari a 6371 (km) e con centro C di coordinate [0,0,-6371] (come eravamo partiti con la circonferenza dell'articolo precedente.
Poi si utilizza una telecamera con caratteristiche di sensore e focale prestabilite (e, in questo, Blender è formidabile perché permette di inserire esattamente i valori per sensore e focale) e lo si fa salire di quota facendolo puntare sempre verso l'orizzonte. Per il test ho utilizzato il sensore di una GoPro3 Black (6.17x 5.44 mm) e la focale (f=4.35mm) di una lente non distorsiva per GoPro.
E qui viene in gioco un altra caratteristica molto interessante di Blender, ovvero la possibilità di programmare in Python lo spostamento e la rotazione della telecamera: Possiamo, in pratica,inserire nelo script la formula per calcolare il coefficiente angolare m e quindi gestire matematicamente spostamento e rotazione della telecamera.
Lo script utilizzato è il seguente.
Questo script va a registrare lo spostamento verticale e rotazione della telecamera in 100 frame partendo da una quota di 20 km incrementata con uno step di 20 km per frame fino ad arrivare, quindi, a 2000 km. La scelta dello step e dei limiti è del tutto arbitrario.
La prossima sequenza mostra il funzionamento dello script su di una vista laterale,
mentre in questa sequenza si vede ciò che riprende la telecamera mentre sale e ruota per puntare l'orizzonte.
Non ci resta da fare altro che far "simulare al simulatore" la stessa situazione, ovvero partendo da una quota di 20 km, salendo con uno step di 20 km fino a 2000 km, utilizzando gli stessi parametri di sensore e focale.
Questo è il risultato:
Non ci resta che sovrapporre quanto registrato dalla telecamera di Blender ed il risultato del simulatore. La sovrapposizione è perfetta.
Direi che, per quanto riguarda il funzionamento matematico, il simulatore funzioni correttamente. Vedrò di metterlo a disposizione nei prossimi giorni in modo che chiunque possa testarlo/utilizzarlo e, eventualmente, riportare qualcosa che non funziona o proporre qualche miglioramento.
Anche per questa volta è tutto.
Ci vediamo a prestissimo.
Oltre che alla pubblicazione del simulatore, è quasi pronta una dimostrazione molto interessante sui razzi che, secondo i terrapiattisti, finirebbero in mare invece che in orbita. Stay tuned. R0D4N
I simulatori hanno database fondati sulla palla che gira e sfreccia nel vuoto. La terra e ferma e il minimo movimento si chiama SISMA.
RispondiEliminaStudia, sistemix.
EliminaNon ti fa onore fare queste figure in giro.
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