I razzi ricadono nell'oceano?

SOTTOTITOLO: Dire "mi fido della foto" è una sciocchezza inaudita.

Questo era un articolo che non prevedevo di scrivere.

Non era nei piani.

Capire che i razzi lanciati per mettere satelliti in orbita non sono finti e non ricadono nell'oceano, mi sembrava abbastanza elementare.

Tutti possono capire che, se un oggetto in quota si allontana, questo sembrerà scendere per prospettiva.

Oltretutto, questo è un cavallo di battaglia del terrapiattismo (ahimé, applicato maldestramente dove non va applicato). Possibile che, per i razzi, la famigerata "legge della prospettiva" non valga?

Non mi sembrava, sinceramente, un argomento degno di un articolo.

Ma la situazione è cambiata, quando l'argomento della discussione è diventato questa foto:

Aura Launch Credit & Copyright: Rick Baldridge

Ed è cambiata perché, la questione non era più se il razzo stesse salendo o ricadendo, ma l'approccio con il quale si stava valutando la questione.

Chi sosteneva che il razzo stesse ricadendo, lo faceva in virtù di una presunta evidenza comunicata dalla foto. La foto raccontava la sua verità senza alcuna necessità, da parte di chi la osservava, di fare ulteriori approfondimenti.

Ecco, sulla scorta di questa posizione, la ricerca terrapiattista termina ancor prima di cominciare, a dispetto di tutti gli autoincensamenti sull'essere ricercatori, aperti di mente.  E la "verità" comunicata dalla foto viene esibita come dato acquisito da smentire. Se non viene smentito, allora vuol dire che è vero.

Ma può essere accettabile questo atteggiamento?

L'articolo di oggi si occuperà direttamente della verità nascosta dietro questa foto ma, indirettamente, sarà un  EMBLEMA DELLA FALLACITA' DEL PENSIERO TERRAPIATTISTA e sul fatto che la RICERCA del terrapiattismo non ha mosso nemmeno un passo verso la ricerca della verità.

Prima di cominciare, però, devo porgere i miei più sentiti ringraziamenti a Shedir, che ha collaborato attivamente nella ricerca delle informazioni relative a questa foto, e Rick Baldridge, l'autore dello scatto, che ci ha fornito delle informazioni preziosissime ed insperate.

Bene, fatto il doveroso cappello introduttivo, possiamo partire.

Allora, guardiamo attentamente la foto:

Senza alcuna informazione suppletiva, cosa sappiamo effettivamente?

Dove sta andando il razzo? Si allontana? Si avvicina? Oppure sta semplicemente passando davanti all'osservatore? Sta scendendo? Sta salendo?

Sembrerebbe che il razzo stia passando davanti alla fotocamera. Basta confrontarlo con le immagini dei lanci in copertina. Ma è evidente! Quindi niente allontanamento e niente prospettiva.

Risolto! Il razzo sta cadendo nell'oceano.

L'analisi è completa.  

Ora dobbiamo correre subito a gridare questa verità al mondo e far sapere a quante più persone possibili che quelli della NASA sono dei truffatori che ci ingannano raccontandoci di mettere satelliti in orbita mentre, invece, li fanno ricadere inesorabilmente nell'oceano.

Mettiamo un segno dove si è fermata la ricerca terrapiattista ed a quali conclusioni è pervenuta. 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bene, da questo punto in poi, iniziamo la ricerca, quella vera, provando a reperire tutte le informazioni utili per capire, compiutamente, cosa accade in questa foto.

Alcune domande che ci possiamo fare ed alle quali dovremmo dare delle risposte:

- Di che lancio si tratta

- Dove è avvenuto

- Quando è avvenuto

- Qual era lo scopo del lancio

- in che direzione andava il razzo

- Quale traiettoria stava seguendo 

- Chi ha realizzato lo scatto

- Dove si trovava rispetto al lancio

- Quale attrezzatura ha utilizzato e quali tecniche fotografiche

Proviamo a vedere se, rintracciando queste informazioni, perveniamo alla stessa conclusione terrapiattista.  

Mettiamo alla prova la presunta "verità" della foto.

Bene, trascorrendo circa 5 minuti su di un motore di ricerca, si arriva con una certa facilità a questo sito:

https://apod.nasa.gov/apod/ap040722.html

 Il quale ci fornisce già molte risposte alle nostre domande:

Evidenzio i dettagli importanti della spiegazione:

"Explanation: In this alluring time exposure, star trails arc across the night sky above Monterey Bay and the lights of Santa Cruz, California, USA. But since the exposure began around 3:01am PDT on July 15 it also records the long trail of a Delta II rocket lofting NASA's Aura spacecraft into Earth orbit. Watching from a vantage point about 200 miles north of the Vandenberg Air Force Base launch site, photographer Rick Baldridge reports that the trail represents the first five minutes of the rocket's powered flight with the ignition of additional solid fuel strap-on motors visible after liftoff, near the beginning of the track. The rocket trail ends at first stage shutdown. Seen under the rocket's path, the two brightest star trails mark the alpha and beta stars of the high-flying constellation Grus. The Aura spacecraft's goal is a comprehensive study of planet Earth's nurturing atmosphere"

Riporto in italiano queste informazioni:

- lo scatto immortala un lancio di un razzo Delta II avvenuto il 15 luglio del 2004 dalla base aeronatutica militare americana di Vandemberg, in California

- il lancio, avvenuto alle 3:01, ora locale, aveva lo scopo di mettere in orbita un satellite che si chiama AURA

- l'autore dello scatto è il fotografo professionista Rick Baldridge

- Baldridge si trovava a circa 200 miglia a nodr dal sito di lancio, nei pressi di SantaCruz, da una posizione vantaggiosa (quindi da una altura) sulla Montgomery Bay.

-  Lo scatto è una lunga esposizione di 5 minuti che immortala il lancio del razzo fino al rilascio del primo stadio.

- sotto la scia del razzo, sono visibili le tracce di due stelle note: α e β della costellazione della Gru. (sì, anche questa informazione è importante).

Bene, alla luce di queste informazioni, vediamo dove si trova questa base. Facciamo una ricerca su Google Maps:

La base di Vandemberg si strova a ad Ovest Nord-Ovest di Los Angeles.
Però è abbastanza estesa. Come facciamo a capire da dove è partito il lancio?

Proviamo a fare una ricerca sui questo evento specifico. Un lancio di un DELTA II per mettere in orbita un satellite AURA dalla base di VANDEMBERG il 15 LUGLIO del 2004:

https://www.nasa.gov/mission_pages/aura/launch/index.html

Siamo fortunati. Abbiamo trovato un sito che ci indica che il lancio è avvenuto dal COMPLESSO 2, quasi sulla costa.

Adesso proviamo a capire dove poteva trovarsi Baldridge.

La descrizione dice che Baldridge si trovava in una località 200 miglia a nord della base e stava guardando a Sud Sud-Est, poiché puntava la la zona di lancio, con la città di Santa Cruz davanti:

L'orientamento a sud sud-est ce lo conferma la foto stessa grazie allo star trail. 

Se proviamo a tracciare l'andamento della circonferenza dello startrail, noteremo che la posizione, dove le tracce dovrebbero essee orizzontali, si trova sulla destra e fuori dall'immagine.

 Le stelle ci danno un'altra informazione piuttosto utile su questo scatto. Di fatti, da queste è possibile ricavare il campo visivo utilizzato.

Ricordate le stelle α e β?
Bene, la distanza angolare da terra tra queste due stelle è nota ed è pari a 5.877°.
(suggerimento ed informazione fornita dallo stesso Baldridge per rintracciare il campo visivo).

Quindi, abbiamo un campo visivo di circa 30 gradi. Un TELEOBIETTIVO.

Bene, abbiamo collocato la base di lancio ed il punto di scatto ma, a parte QUESTO, non sappiamo praticamente nulla né della direzione in cui sta andando il missile, né della sua traiettoria.

Possiamo fare una cosa per avere una idea della direzione:  

Conoscere l'orbita del satellite AURA.

Grazie alle ricerche fatte da Shedir, abbiamo appurato che il satellite AURA ha un'orbita MOLTO PARTICOLARE. (Devo ammettere che, prima di conoscerla, la mia ricerca stava andando da un'altra parte. INFORMAZIONI PARZIALI).

Il satellite AURA è stato lanciato in Orbita Sincronica con il Sole. (SSO), come si evince dalla pagina di wikipedia.

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Thor_and_Delta_launches_(2000%E2%80%9309)#2004

Ciò significa che il satellite INSEGUE IL SOLE, muovendosi secondo una direzione nord-sud dal lato ovest e transitando quasi sui poli, come si evince dalla sintesi di HEAVENS-ABOVE:

https://www.heavens-above.com/orbit.aspx?satid=28376&lat=0&lng=0&loc=Unspecified&alt=0&tz=UCT

Dal sito SPACEARCHIVE, invece, sappiamo per certo che, al momento del lancio, il missile è andato decisamente in direzione SUD.

http://www.spacearchive.info/news-2004-05-26-brw.htm

Alla luce delle informazioni acquisite, possiamo

Va bene, abbiamo trovato una traiettoria. Ma questo non ci dice ancora nulla sul fatto che il razzo sta ricadendo in mare o meno, anche se possiamo iniziare a capire che non è assolutamente vero che il razzo sta semplicemente passando davanti alla fotocamera.

Il razzo si sta ALLONTANANDO dal punto di vista e, in questo caso, la prospettiva c'entra eccome.

Ma non ci fermiamo qui. Approfondiamo ulteriormente la ricerca.

Manca la cosa più importante. Il pezzo forte di tutta la questione: la TRAIETTORIA DEL RAZZO.

In un primo momento, la mia idea era quella di ricavare questa traiettoria dal video del lancio, in cui lo speaker fornisce almeno 3 punti  riguardanti la quota e la distanza del missile dalla piattaforma di lancio.

 

Ma è giunto, inaspettatamente, un contributo importantissimo: quello di Rick Baldridge (contattato via email da Shedir), il quale non solo ci ha gentilmente indicato le esatte coordinate e la quota dalla quale ha scattato la foto (37.2229° N,  122.0858° W, Altitude 2,800ft.), ma ci ha fornito le ESATTE COORDINATE DELLA TRAIETTORIA del missile:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

DELTA-II AURA TRAJECTORY

 

TIME

SEC

AFTER

LIFTOFF         LAT                      LONG            ALT (km)

0.0    34.7556  -120.6214  0.04

5.0    34.7553  -120.6214  0.30

33.1   34.7446  -120.6252  4.08

48.0   34.7217  -120.6332  9.70

65.5   34.6469  -120.6588  18.60

91.0   34.5068  -120.7072  30.50

100.0  34.4118  -120.7385  36.00

106.0  34.3424  -120.7599  39.50

113.0  34.2680  -120.7818  43.00

118.0  34.1949  -120.8018  46.35

125.0  34.0750  -120.8322  51.07

131.0  33.9780  -120.8542  54.80

150.0  33.5697  -120.9395  67.00

168.0  33.1391  -121.0301  77.50

185.0  32.6662  -121.1291  86.50

205.2  32.0286  -121.2594  98.6

219.4  31.4080  -121.3847  107.5

236.0  30.5214  -121.5608  120.00

260.8  28.8361  -121.8869  144.30  Burnout – end of trail on the photograph. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Con queste informazioni possiamo simulare con ottima precisione lo scatto su Google Earth.

Di seguito, vi posto gli script in formato kml da lanciare per vedere il risultato della simulazione.

Ovviamente, dovete avere Google Earth installato.

Prima di fare qualsiasi cosa, cambiate una piccola impostazione su GE:

Andate su Opzioni > Navigazione e scegliete la voce "Non inclinare automaticamente durante lo zoom"

Questo previene scelte automatiche da parte di GE quando la telecamera è molto vicina al terreno.

Bene, adesso passiamo agli script (purtroppo sono due, perché non sono riuscito a rispovere dei conflitti tra le istruzioni che generano la traccia del razzo e quelli che posizionano il punto di vista con lo zoom corretto. Se qualcuno sa come risolvere la cosa, mi farebbe un grande piacere se la postasse nei commenti):

Il primo script serve per generare la traccia del razzo. Lo chiameremo rocket.kml (potete usare qualsiasi editor di testo, basta che, successivamente, cambiate l'estensione da txt in kml)

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<kml xmlns="http://www.opengis.net/kml/2.2">
<Document>
  <name>Traiettoria Lancio AURA.kml</name>
  <Placemark>
    <LineString>
      <tessellate>1</tessellate>
      <altitudeMode>relativeToGround</altitudeMode>
      <coordinates>
        -120.6214,34.7556,40 -120.6214,34.7553,300
        -120.6214,34.7553,300 -120.6252,34.7446,4080
        -120.6252,34.7446,4080 -120.6332,34.7217,9700
        -120.6332,34.7217,9700 -120.6588,34.6469,18600
        -120.6588,34.6469,18600 -120.7072,34.5068,30500
        -120.7072,34.5068,30500 -120.7385,34.4118,36000   
        -120.7385,34.4118,36000 -120.7599,34.3424,39500
        -120.7599,34.3424,39500 -120.7818,34.2680,43000
        -120.7818,34.2680,43000 -120.8018,34.1949,46350
        -120.8018,34.1949,46350 -120.8322,34.0750,51070
        -120.8322,34.0750,51070 -120.8542,33.9780,54800
        -120.8542,33.9780,54800 -120.9395,33.5697,67000
        -120.9395,33.5697,67000 -121.0301,33.1391,77500
        -121.0301,33.1391,77500 -121.1291,32.6662,86500
        -121.1291,32.6662,86500 -121.2594,32.0286,98600
        -121.2594,32.0286,98600 -121.3847,31.4080,107500
        -121.3847,31.4080,107500 -121.5608,30.5214,120000
        -121.5608,30.5214,120000 -121.8869,28.8361,144300
      </coordinates>
    </LineString>
   <Style>
    <LineStyle> 
     <color>#ffffff00</color>
     <width>5</width>
    </LineStyle>
   </Style>
  </Placemark>
 </Document>
</kml>

Lanciando questo primo file, quello che vedrete è questo:

 
Ovvero il razzo che va a Sud Sud-Ovest.
Se ruotate un po' la telecamera, scoprirete che il razzo sta salendo (ma si capiva anche dall'aumento dell'altitudine dei dati):

Il secondo script servea posizionare il punto di vista di Baldridge. Chiameremo il file baldridge.kml:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<kml xmlns="http://www.opengis.net/kml/2.2" xmlns:gx="http://www.google.com/kml/ext/2.2" xmlns:kml="http://www.opengis.net/kml/2.2" xmlns:atom="http://www.w3.org/2005/Atom">

<gx:Tour>
    <gx:Playlist>
        <gx:FlyTo>
        <LookAt>
            <gx:horizFov>28</gx:horizFov>
            <longitude>-122.0858</longitude>
            <latitude>37.2229</latitude>
            <altitude>588</altitude>
               <altitudeMode>absolute</altitudeMode>   
              <tilt>90</tilt>
                 <heading>167</heading>
            </LookAt>  
    </gx:FlyTo>
    </gx:Playlist>
</gx:Tour>
</kml>

Quindi, se adesso lanciate anche questo secondo file, scoprirete la simulazione di quello che ha fotografato Baldridge:

Vi sembra famigliare?

Vogliamo provare a sovrapporre la simulazione sulla foto?

Bene, siamo arrivati alla conclusione di questa lunga dimostrazione. Faticosa, ma avvincente.

Ma, la mia domanda, a questo punto, sorge spontanea: quanto si trova distante la ricerca terrapiattista, che abbiamo lasciato dietro quella linea tratteggiata, dalla verità?

Ecco, vi lascio riflettere e spero che questo articolo serva a più di qualche terrapiattista per riconsiderare il proprio atteggiamento.

Con questo, vi saluto e ci rivediamo alla prossima.

R0D4N
 

Test del simulatore d'orizzonte

Eccoci alla seconda parte, che completa la precedente in cui abbiamo trovato l'equazione che descrive matematicamente la curva dell'orizzonte.

Ci eravamo lasciati con questa formula matematica:
$$\bbox[5px,border:2px solid red]{m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)+2y'h\cos\beta(1+m^2)=0}$$ dove, noti \(d\) (diametro medio terrestre) e \(q\) (quota del punto di vista), abbiamo:

\(m=\frac{2}{d}\sqrt{q^2+dq}\)

\(h=2q\frac{d+q}{d+2q}\)

\(\beta=\arctan(m)\)

Manca ancora una cosa affinché la curva possa avere un impiego pratico: fino a questo punto non abbiamo ancora introdotto il CAMPO VISIVO, che è quello che definisce quanta parte di questa curva riusciamo a vedere.

Quindi, introduciamo il campo visivo, del quale parlerò in termini fotografici, in maniera da poter poi utilizzare dei parametri ottici di fotocamere note nel simulatore d'orizzonte.

I due elementi essenziali di una fotocamera sono il sensore (il riquadro sensibile alla luce sul quale si forma l'immagine prospettica) e la lente, il cui centro è posto ad una distanza prestabilita dal sensore,chiamata focale. Bene, in base alle dimensioni del sensore ed alla distanza focale della lente è possibile definire il campo visivo attraverso l'angolo di campo, anche chiamato FOV (Field Of View, che significa letteralmente, campo visivo).

Generalmente, si definisce come angolo di campo (FOV), l'angolo delvertice del triangolo isoscele costruito sulla diagonale del sensore ed avente come altezza la focale.

La lunghezza della Diagonale del sensore si trova facilmente applicando il teorema di Pitagora: $$ D_s=\sqrt{L_s^2+H_s^2}$$

Trovata la diagonale, il triangolo che si forma su di essa avente come altezza la lunghezza focale, definisce l'angolo di campo (FOV).

$$FOV=\arctan\left( \frac{D_s}{2f}\right)$$

Oltre all'angolo costruito sulla diagonale, torna utile conoscere anche il \(FOV\) orizzontale e verticale, ottenuti sostituendo alla \(D_s\) nella formula rispettivamente i valori \(L_s\) (larghezza del sensore) ed \(H_s\) (altezza del sensore). $$FOV_o=\arctan\left( \frac{L_s}{2f}\right)$$ $$FOV_v=\arctan\left( \frac{H_s}{2f}\right)$$ Abbiamo capito come definire il campo visivo di una nostra ipotetica fotocamera.

Adesso, però, vogliamo sapere quanta parte di orizzonte riusciamo a vedere. Per fare questo, ci occorre sapere la distanza dell'osservatore dall'orizzonte. Ma questa l'abbiamo già calcolata nell'articolo precedente: $$dist=\frac{h}{\sin(\beta)}$$ Attraverso questa distanza possiamo costruire una piramide simile a quella che si forma all'interno della fotocamera, la cui base è la porzione di scena inquadrata. Possiamo sapere quanto è ampio questo riquadro attraverso delle semplici proporzioni:

$$ L=L_s\frac{dist}{focale}$$ $$ H=H_s\frac{dist}{focale}$$

Abbiamo definito il riquadro che contiene la porzione di curva che siamo in grado di vedere, in base al campo visivo. Ovviamente, essendo variabile la distanza del punto di vista dall'orizzonte, sarà variabile anche la nostra inquadratura.

Adesso, invece di variare le dimensioni del riquadro in base alla distanza dell'orizzonte rispetto al punto di vista, possiamo mantenere il quadro fisso è scalare il sistema di riferimento in modo coerente ai calcoli.

Questa cosa è abbastanza semplice da ottenere in Geogebra: Basta inserire le variabili della larghezza del riquadro come parametri per la dimensione della finestra.

Abbiamo tutto ciò che ci serve per impostare il simulatore d'orizzonte, nel quale sarà possibile scegliere i parametri del sensore della fotocamera e della focale della lente.

Bene, a questo punto il simulatore è, sostanzialmente completo.

Ma è necessario fare ancora due cose molto importanti prima di considerarlo uno strumento valido:

- bisogna fare una riprova della bontà della formula finale. Occorre verificare con un altro metodo se il risultato del simulatore è attendibile.

- bisogna mettere alla prova sul campo il simulatore. Occorre prendere dei video ad alta quota in cui si vede l'orizzonte che fa la curva e che sia stato realizzato con delle lenti non distorsive.

In questo articolo, vediamo di verificare il primo punto. L'utilizzo sul campo del siulatore con verifica della curva dell'orizzonte e, quindi, della curvatura terrestre, avrà un articolo e/o video dedicato.

Ma, come facciamo a verificare se il simulatore sta tirando fuori una curva che ha senso?

L'idea che, mi è venuta è quella di utilizzare un software di grafica 3D e di simulare tridimensionalmente quello che dovrebbe rappresentare il simulatore. (Se qualcuno ha altri sistemi di verifica, mi farebbe piacere utilizzarli per testare il simulatore)

Il software che utilizzerò è Blender, gratuito e realizzato in Python, con delle caratteristiche che sono precise per questa verifica.

L'idea per la verifica è molto semplice. Si realizza una sfera di raggio pari a 6371 (km) e con centro C di coordinate [0,0,-6371] (come eravamo partiti con la circonferenza dell'articolo precedente.

Poi si utilizza una telecamera con caratteristiche di sensore e focale prestabilite (e, in questo, Blender è formidabile perché permette di inserire esattamente i valori per sensore e focale) e lo si fa salire di quota facendolo puntare sempre verso l'orizzonte. Per il test ho utilizzato il sensore di una GoPro3 Black (6.17x 5.44 mm) e la focale (f=4.35mm) di una lente non distorsiva per GoPro.

E qui viene in gioco un altra caratteristica molto interessante di Blender, ovvero la possibilità di programmare in Python lo spostamento e la rotazione della telecamera: Possiamo, in pratica,inserire nelo script la formula per calcolare il coefficiente angolare m e quindi gestire matematicamente spostamento e rotazione della telecamera.

Lo script utilizzato è il seguente.
Questo script va a registrare lo spostamento verticale e rotazione della telecamera in 100 frame partendo da una quota di 20 km incrementata con uno step di 20 km per frame fino ad arrivare, quindi, a 2000 km. La scelta dello step e dei limiti è del tutto arbitrario.

La prossima sequenza mostra il funzionamento dello script su di una vista laterale,

mentre in questa sequenza si vede ciò che riprende la telecamera mentre sale e ruota per puntare l'orizzonte.

Non ci resta da fare altro che far "simulare al simulatore" la stessa situazione, ovvero partendo da una quota di 20 km, salendo con uno step di 20 km fino a 2000 km, utilizzando gli stessi parametri di sensore e focale.

Questo è il risultato:

Non ci resta che sovrapporre quanto registrato dalla telecamera di Blender ed il risultato del simulatore. La sovrapposizione è perfetta.

Direi che, per quanto riguarda il funzionamento matematico, il simulatore funzioni correttamente. Vedrò di metterlo a disposizione nei prossimi giorni in modo che chiunque possa testarlo/utilizzarlo e, eventualmente, riportare qualcosa che non funziona o proporre qualche miglioramento.

Anche per questa volta è tutto.

Ci vediamo a prestissimo.

Oltre che alla pubblicazione del simulatore, è quasi pronta una dimostrazione molto interessante sui razzi che, secondo i terrapiattisti, finirebbero in mare invece che in orbita. Stay tuned. R0D4N

L'equazione dell'orizzonte

Salve a tutti. Oggi voglio riprendere l'argomento affrontato nell'articolo precedente, ovvero la forma dell'orizzonte e la sua percezione, e lo approfondirò dandone una descrizione matematica. Sì, in questo articolo scriveremo una equazione che descrive l'andamento dell'orizzonte in base alla quota dell'osservatore.

Sono consapevole che questo non sarà un articolo che incontrerà l'interesse di tutti, ma penso che sia importante per due ragioni:

- La prima è che questa trattazione è una dimostrazione lampante della difficoltà che, spesso, si incontra nel descrivere matematicamente un fenomeno fisico. Capita molto di frequente di incontrare persone che pensano di risolvere le quesioni in quattro e quattr'otto con qualche formuletta di loro conoscenza non attinente e male applicata, perché non capiscono minimamente la portata del problema.

- La seconda è che sono in procinto di aggiornare la pagina del simulatore d'orizzonte con la possibilità di fare ulteriori operazioni (ad esempio introducendo le caratteristiche di una fotocamera). Questo articolo e quello che seguirà a breve rappresenteranno la documentazione tecnica del nuovo simulatore, che chiunque potrà consultare e verificare.

Quindi, questo articolo tratterà l'equazione che descrive la curva dell'orizzonte rispetto alla quota dell'osservatore, mentre nel successivo articolo vedremo quanta parte di questa curva siamo in grado di vedere in base al campo visivo disponibile (definendolo attraverso parametri fotografici) e verificheremo la bontà del calcolo mediante il confronto con una simulazione in un software 3D (Blender) e con casi reali di riprese dell'orizzonte ad alta quota senza l'utilizzo di lenti distorsive.

Sarà una intensa galoppata tra geometria analitica bi-tridimensionale e trigonometria applicata.

Un'ultima nota prima di partire: quanto riportato di seguito rappresenta una descrizione matematica approssimata della curva dell'orizzonte. Nel calcolo si considera la Terra come una sfera perfetta di raggio pari a \(r=6371\) km (raggio medio terrestre), non vengono considerati effetti atmosferici.

Bene, adesso che siete stati avvisati a cosa state per andare in contro, possiamo cominciare.

Nell'articolo precedente abbiamo visto come l'orizzonte sia sostanzialmente un arco della circonferenza determinata dal cono visivo tangente alla sfera, dove il vertice del cono è il punto di vista.

Questo cono varia in base alla quota dell'osservatore, quindi possiamo tentare di parametrizzarlo attraverso questa quota, ovvero di scrivere una equazione del cono che varia in base al parametro \(q\).

Partiamo con il definire il cono, in modo che si modifichi in base alla quota dell'osservatore. Dobbiamo cercare tutti i parametri che variano in base quota ed attraverso i quali è possibile scrivere l'equazione del cono.

Per fare questo, possiamo facilitarci la vita, trovando le proprietà del cono attraverso la sua proiezione 2D, considerando la circonferenza massima della sfera e le sue rette tangenti passanti per il punto in quota
Consideriamo, quindi la circonferenza così descritta : $$x^2+y^2+dy=0$$ dove $$d=2r$$ \(r\) è il raggio della circonferenza (raggio medio terrestre)

La caratteristica di questa circonferenza è che non avrà centro all'incrocio del sistema degli assi, ma centro \(C=(0,-r)\), di modo che l'origine del riferimento del sistema cartesiano possa rappresentare la quota 0 del nostro ragionamento.

Consideriamo, quindi, un punto \(P=(0,q)\) che rappresenta la quota alla quale si trova il punto di vista.

Il cono di tangenza verrà parametrizzato sulla base di questo punto.

Adesso, vogliamo trovare una retta, passante per il punto \(P\) e tangente alla circonferenza. L'equazione della retta sarà di questo tipo: $$y=mx+q$$

Dobbiamo, quindi, trovare per quale valore di \(m\), la retta diventa tangente alla circonferenza. Per fare questo, mettiamo a sistema le equazioni della circonferenza e della retta. $$ \begin{cases} x^2+y^2+dy=0 \\ y=mx+q \\ \end{cases} $$

Andiamo a sostituire la \(y\) della retta nell'equazione della circonferenza: $$x^2+(mx+q)^2+d(mx+q)=0$$ $$x^2+m^2x^2+q^2+2qmx+dmx+dq=0$$ Perveniamo ad una equazione di secondo grado in \(x\): $$\underbrace{(1+m^2)}_{\text{A}}x^2+\underbrace{(2q+d)m}_{\text{B}}x+\underbrace{q^2+dq}_{\text{C}}=0$$ Che si sviluppa con la classica formula risolutiva: $$ x = {-B \pm \sqrt{B^2-4AC} \over 2A}$$ Ma noi stiamo cercando il coefficiente angolare per il quale la retta è tangente, e questo si trova imponendo: \(B^2-4AC=0\) (Condizione di tangenza) $$ (2q+d)^2m^2-4(1+m^2)(q^2+dq)=0$$ $$ \require{cancel}\cancel{4q^2m^2}+d^2m^2+\cancel{4dqm^2}-4q^2-4dq-\cancel{4q^2m^2}-\cancel{4dqm^2}=0$$ $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{m=\pm\frac{2}{d}\sqrt{q^2+dq}}$$ Bene, abbiamo trovato il coefficiente angolare \(m\) della retta tangente. In realtà, abbiamo due coefficienti perché, da un punto esterno ad una circonferenza, passano due rette tangenti ad essa.

A questo punto, ci interessa di trovare le coordinate dei punti di tangenza. Questo possiamo farlo andando a sostituire la \(y\) della retta parametrizzata nell'equazione della circonferenza. Per fare questo, sceglieremo una sola delle due rette, quella con il coefficiente angolare positivo: $$y_t=\frac{2}{d}x\sqrt{q^2+dq}+q$$ $$x^2+(\frac{2}{d}x\sqrt{q^2+dq}+q)^2+d(\frac{2}{d}x\sqrt{q^2+dq}+q)=0 $$ Sostituiamo: $$x^2+\frac{4}{d^2}x^2(q^2+dq)+q^2+\frac{4q}{d}x\sqrt{q^2+dq}+2x\sqrt{q^2+dq}+dq=0 $$ $$x^2\underbrace{\cancelto{(d+2q)^2}{(d^2+4q^2+4dq)}}_{\text{A}}+x\underbrace{2d(2q+d)\sqrt{q^2+dq}}_{\text{B}}+\underbrace{d^2q^2+d^3q}_{\text{C}}=0 $$ Otteniamo una nuova equazione di secondo grado, che risolviamo con la formula risolutiva. (Poiché la retta è tangente, ci aspettiamo che \(B^2-4AC=0\) (lo useremo come verifica): $$ x_t = {-B \pm \sqrt{B^2-4AC} \over 2A}$$ $$ x_t = {-2d(2q+d)\sqrt{q^2+dq} \pm \sqrt{[2d(2q+d)\sqrt{q^2+dq}]^2-4(d+2q)^2(d^2q^2+d^3q)} \over 2(d+2q)^2}$$ $$ x_t = {-2d(2q+d)\sqrt{q^2+dq} \pm \sqrt{\cancel{4d^2q(2q+d)^2(q+d)}-\cancel{4d^2q(d+2q)^2(q+d)}} \over 2(d+2q)^2}$$ (\(B^2-4AC=0\) effettivamente si verifica, come previsto): $$ x_t = {-\cancel{2}d\cancel{(2q+d)}\sqrt{q^2+dq} \over \cancel{2}(d+2q)^\cancel{2}}$$ $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{x_t = -\frac{d}{d+2q}\sqrt{q^2+dq}}$$ Abbiamo trovato la coordinata \(x_t\) del punto tangente alla curva. Adesso calcoliamo la componente \(y_t\) inserendo \(x_t\) nell'equazione della retta tangente: $$y_t=-\frac{2}{\cancel{d}}\left(\frac{\cancel{d}}{d+2q}\sqrt{q^2+dq}\right)\sqrt{q^2+dq}+q$$ $$y_t=-\frac{2}{d+2q}(q^2+dq)+q$$ $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{y_t = -2q\frac{d+q}{d+2q}+q}$$ Abbiamo trovato entrambe le coordinate del punto \(T(x_t,y_t)\) parametrizzate in base alla quota \(q\)

Abbiamo trovato tutti gli elementi utili a caratterizzare il nostro cono di tangenza, e siamo riusciti a parametrizzarlo in base alla quota dell'osservatore \((q)\). La cosa funziona talmente bene che possiamo addirittura "staccare" il cono di tangenza dalla sfera. Possiamo, di fatti, calcolare l'altezza del cono dalla base variabile ed analizzare il nostro cono a parte, sapendo che, comunque, la circonferenza di base rappresenta sempre l'orizzonte rispetto al punto di vista. Per fare questo, quindi, calcoliamo la distanza \(h\): $$ h=q-y_t$$ $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{h = 2q\frac{d+q}{d+2q}}$$

Vediamo meglio la cosa spostandoci alla visione tridimensionale. Grazie ai parametri calcolati \((m, h)\) possiamo scrivere il cono tangente parametrico che ha la seguente equazione: $$x^2 + y^2-\frac{(z-h)^2}{m^2}=0$$ dove \(m\) ed \(h\) sono i parametri appena calcolati.

Come abbiamo già detto, poichè il cono varia esclusivamente in funzione della quota, possiamo analizzarlo a parte ricordando, comunque, che la sua base circolare è l'orizzonte terrestre di cui vogliamo trovare una equazione in base alla vista.

Abbiamo trovato l'equazione del cono tangente alla sfera, parametrizzato esclusivamente con la quota \(q\). Ora, dopo aver definito il cono di visione ela circonferenza di base alla quale appartiene l'arco d'orizzonte, vogliamo esprimere matematicamente quella che è la nostra percezione dell'orizzonte. La percezione prospettica che noi abbiamo dell'orizzonte è quella che si individua attraverso un piano secante il cono e perpendicolare alla direzione della vista.

L'orizzonte è esattamente la linea di intersezione tra cono e piano.

Occorre, però, risolvere un problema affinché noi possiamo pervenire all'equazione di questa curva: il piano sul quale giace la curva è definito nello spazio tridimensionale, mentre a noi interessa avere un sistema di riferimento cartesiano che ruoti assieme al piano per definire bidimensionalmente la curva dell'orizzonte su un riferimento bidimensionale. Questo può essere ottenuto cambiando sistema di riferimento (quindi passiamo da \(O(x,y,z)\) ad \(O'(x'y'z')\)) ruotandolo dello stesso angolo di pendenza del cono(angolo \(\beta=atan(m)\)). In questa maniera, la curva dell'orizzonte sarà definita sul piano \(x'y'\) del nuovo sistema di riferimento.

Quello che vogliamo ottenere è, sostanzialmente, questo:

Chi è stato attento e ha osservato bene cosa mostra questa animazione, avrà capito che, in realtà, non abbiamo solo una rotazione del cono, ma anche una sua traslazione, perché il vertice si sposta lungo l'asse \(z'\) della distanza tra l'osservatore e l'orizzonte.

La cosa positiva è che possiamo occuparci separatamente di queste due componenti (rotazione e traslazione).

Occupiamoci della prima.

Vogliamo ruotare il cono parametrico attorno all'asse \(x\), quindi consideriamo, come condizione di partenza,l'equazione del cono con asse di simmetria lungo l'asse \(y\) e vertice nell'origine \(O\) del sistema.

L'equazione di tale cono è la seguente: $$x^2-\frac{y^2}{m^2}+z^2=0$$ Vi faccio notare che l'equazione è ancora parametrizzata secondo il valore \(q\) che rappresenta la quota dell'osservatore, attraverso \(m\). Si tratta sempre dello stesso cono, ma lo abbiamo disposto diversamente nello spazio.

Vogliamo, quindi, fare in modo che il sistema di riferimento ruoti di un angolo pari alla pendenza del cono, in modo che il profilo di pendenza rimanga sempre ortogonale al piano \(xy\) (che, nel nuovo sistema di riferimento sarà il piano \(x'y'\)). Ovviamente,l'angolo di rotazione varia perchè la pendenza del cono varia al variare di \(q\).

Il risultato che cerchiamo è questo:

Matematicamente, la rotazione di un riferimento cartesiano si ottiene mediante un sistema di equazioni che esprimono il nuovo riferimento in funzione di quello di partenza. Per ottenere un riferimento \(O'(x',y',z')\) ruotato attorno all'asse \(x\) del riferimento \(O(x,y,z)\), si utilizza il seguente sistema di equazioni: $$ \begin{cases} x'=x \\ y’ = y\cos\beta - z\sin\beta\\ z'= y\sin\beta + z\cos\beta\\ \end{cases} $$ Per poter utilizzare questo sistema, occorre che otteniamo il sistema inverso, ovvero il riferimento in \(O(x,y,z)\), in funzione del nuovo riferimento, in modo da poter fare le sostituzioni nell'equazione del cono.

Quindi, quello che vogliamo fare è esprimere \(x, y\) e \(z\) in funzione di \(x', y'\) e \( z'\).

La prima equazione è facile:

Vogliamo che il nuovo sistema ruoti attorno ad \(x\). Quindi \(x'=x\) e viceversa. $$ x=x'$$ Per trovare \(y\) e \(z\) in funzione di \(y'\) e \(z'\), usiamo un pò di "trucchi", moltiplicando le equazioni per delle quantità opportune e sommando o sottraendo le equazioni tra di loro, in modo da poter esplicitare \(y\) e \(z\). $$ \begin{array}{c|lcr} y’\cos\beta &= &y\cos^2\beta &- &z\sin\beta\cos\beta &+\\ z'\sin\beta&= &y\sin^2\beta &+ &z\sin\beta\cos\beta\\ \hline y’\cos\beta+z'\sin\beta &= &y\cancelto{1}{(\cos^2\beta+\sin^2\beta)} &+ &0 \\ \end{array} $$ $$y = y'\cos\beta + z'\sin\beta$$ \begin{array}{c|lcr} y’\sin\beta &= &y\sin\beta\cos\beta &- &z\sin^2\beta &-\\ z'\cos\beta&= &y\sin\beta\cos\beta &+ &z\cos^2\beta\\ \hline y’\sin\beta-z'\cos\beta &= &0 &- &z\cancelto{1}{(\cos^2\beta+\sin^2\beta)} \\ \end{array} Bene, il sistema di equazioni da usare è, quindi, il seguente. Andremo a sostituirle nell'equazione del cono. $$ \begin{cases} x=x' \\ y = y'\cos\beta + z'\sin\beta\\ z= -y'\sin\beta + z'\cos\beta\\ \end{cases} $$ L'equazione del cono di partenza è questa: $$x^2-\frac{y^2}{m^2}+z^2=0$$ Andiamo a sostituire x, y e z: $$x'^2-\frac{(y'\cos\beta + z'\sin\beta)^2}{m^2}+(-y'\sin\beta + z'\cos\beta)^2=0$$ Moltiplichiamo tutto per \(m^2\) in modo da eliminare le frazioni. $$m^2x'^2-(y'\cos\beta + z'\sin\beta)^2+m^2(-y'\sin\beta + z'\cos\beta)^2=0$$ e sviluppiamo: $$m^2x'^2-(y'^2\cos^2\beta + z'^2\sin^2\beta+2y'z'\sin\beta\cos\beta)+m^2(y'^2\sin^2\beta + z'^2\cos^2\beta-2y'z'\sin\beta\cos\beta)=0$$ $$m^2x'^2+y'^2(\sin^2\beta-m^2\cos^2\beta)+z'^2(\cos^2\beta-m^2\sin^2\beta)-2y'z'\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0$$ Moltiplico e divido alcuni termini per \(cos^2\beta\), in modo da fare qualche semplificazione: $$m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)+\cancelto{0}{z'^2(m^2-\cancelto{m^2}{\frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}})}-2y'z'\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0$$ Infine, otteniamo: $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)-2y'z'\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0}$$ Questa è l'equazione che ci permette di ruotare il cono. Adesso dobbiamo traslarlo lungo l'asse \(z'\) della distanza tra il punto di vista e l'orizzonte. Questa distanza è pari a: $$dist=\frac{h}{\sin\beta}$$ Per poterla inserire nella equazione, basta sottrarre \(dist\) all'incognita \(z'\): $$ m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)-2y'(z'-dist)\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0$$ Quindi, sostituendo \(dist\) otteniamo: $$ \bbox[5px,border:2px solid red]{m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)-2y'\left(z'-\frac{h}{\sin\beta}\right)\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0}$$ Bene, questa è l'equazione parametrica del cono. Da questa, possiamo facilmente trovare l'equazione che descrive l'orizzonte imponendo \(z'=0\). $$m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)+2y'\frac{h}{\sin\beta}\sin\beta\cos\beta(1+m^2)=0$$ Facendo qualche semplificazione, possiamo finalmente scrivere l'equazione dell'orizzonte: $$\bbox[5px,border:2px solid red]{m^2x'^2+y'^2\cos^2\beta(m^4-1)+2y'h\cos\beta(1+m^2)=0}$$

Siamo arrivati al termine di questa prima parte, ricca di ragionamenti e calcoli.

Concludieremo l'argomento con l'introduzione dei parametri fotografici e la presentazione del nuovo simulatore d'orizzonte nel prossimo articolo.

A prestissimo. R0D4N